Упр.39.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) y=xv(2x+1); 3) y=tg(x)sin(2x+5); 5) y=(vx-1)/(vx+1);
2) y=sin(x)cos(2x); 4) y=cos(3x)/(x-1); 6) y=v(x^2+1)/x.

Подробный ответ

$$y=x\sqrt{2x+1}$$
Применим правило производной произведения:
$$y’=\sqrt{2x+1}+x\cdot \frac{2}{2\sqrt{2x+1}}$$
$$y’=\frac{2x+1+x}{\sqrt{2x+1}}=\frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$$
$$y=\sin x\cos 2x$$
По правилу производной произведения:
$$y’=\cos x\cos 2x-2\sin x\sin 2x$$
Используем формулы приведения:
$$y’=\cos 3x-\frac12(\cos x-\cos 3x)$$
$$y’=\frac32\cos 3x-\frac12\cos x$$
$$y=\tg x\sin(2x+5)$$
По правилу производной произведения:
$$y’=\frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x}+\tg x\cdot 2\cos(2x+5)$$
Приведём к общему виду:
$$y’=\frac{\sin(2x+5)+2\sin x\cos x\cos(2x+5)}{\cos^2 x}$$
Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$, получаем:
$$y’=\frac{\sin(2x+5)+\sin 2x\cos(2x+5)}{\cos^2 x}$$
$$y=\frac{\cos 3x}{x-1}$$
По правилу производной частного:
$$y’=\frac{-3\sin 3x\,(x-1)-\cos 3x}{(x-1)^2}$$
$$y’=\frac{3(1-x)\sin 3x-\cos 3x}{(x-1)^2}$$
$$y=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$$
По правилу производной частного:
$$y’=\frac{\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$$
$$y’=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$$
$$y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$
По правилу производной частного:
$$y’=\frac{\frac{2x\cdot x}{2\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{x^2+1}}{x^2}$$
$$y’=\frac{x^2-(x^2+1)}{x^2\sqrt{x^2+1}}=-\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$