Упр.39.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите производную функции:

1. $$y=(3x-5)^6$$;
2. $$y=\sin\left(\frac{x}{3}\right)$$;
3. $$y=\cos^2(x)$$;
4. $$y=2\operatorname{tg}(4x)$$;
5. $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$;
6. $$y=\sqrt{1-x^2}$$;
7. $$y=(6x+8)^{\frac{1}{4}}$$;
8. $$y=(9x-2)^{-3}$$;
9. $$y=\sqrt{\cos(x)}$$.

Найдём производные по правилам дифференцирования сложной функции.

1. $$y=(3x-5)^6$$
   $$y’=6(3x-5)^5\cdot 3=18(3x-5)^5$$
2. $$y=\sin \frac{x}{3}$$
   $$y’=\cos \frac{x}{3}\cdot \frac13=\frac13\cos \frac{x}{3}$$
3. $$y=\cos^2 x$$
   $$y’=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$$
4. $$y=2\tg 4x$$
   $$y’=2\cdot \frac{1}{\cos^2 4x}\cdot 4=\frac{8}{\cos^2 4x}$$
5. $$y=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$
   $$y’=-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\cdot(-1)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$
6. $$y=\sqrt{1-x^2}$$
   $$y’=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
7. $$y=\sqrt[4]{6x+8}=(6x+8)^{\frac14}$$
   $$y’=\frac14(6x+8)^{-\frac34}\cdot 6=\frac{3}{2\sqrt[4]{(6x+8)^3}}$$
8. $$y=(9x-2)^{-3}$$
   $$y’=-3(9x-2)^{-4}\cdot 9=-27(9x-2)^{-4}=-\frac{27}{(9x-2)^4}$$
9. $$y=\sqrt{\cos x}$$
   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{\cos x}}\cdot(-\sin x)=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$$

Ответ:

$$1)\ y’=18(3x-5)^5;\quad 2)\ y’=\frac13\cos\frac{x}{3};\quad 3)\ y’=-\sin 2x;$$
$$4)\ y’=\frac{8}{\cos^2 4x};\quad 5)\ y’=\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right);\quad 6)\ y’=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}};$$
$$7)\ y’=\frac{3}{2\sqrt[4]{(6x+8)^3}};\quad 8)\ y’=-\frac{27}{(9x-2)^4};\quad 9)\ y’=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}.$$