Упр.38.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Вычислите значение производной функции f в точке $$x_0$$:

1. $$f(x)=x\,x^{1/4}$$, $$x_0=256$$;
2. $$f(x)=(xvx)^{1/8}$$, $$x_0=1$$.

1) $$f(x)=x\sqrt[4]{x}=x^{5/4}.$$

Тогда

$$f'(x)=\left(x^{5/4}\right)’=\frac{5}{4}x^{1/4}=\frac{5}{4}\sqrt[4]{x}.$$

Найдём значение производной в точке $$x_0=256$$:

$$f'(256)=\frac{5}{4}\sqrt[4]{256}=\frac{5}{4}\cdot 4=5.$$

2) $$f(x)=\sqrt[8]{x\sqrt{x}}=\left(x\cdot x^{1/2}\right)^{1/8}=\left(x^{3/2}\right)^{1/8}=x^{3/16}.$$

Тогда

$$f'(x)=\left(x^{3/16}\right)’=\frac{3}{16}x^{-13/16}.$$

Найдём значение производной в точке $$x_0=1$$:

$$f'(1)=\frac{3}{16}\cdot 1^{-13/16}=\frac{3}{16}.$$

Ответ: 1) $$5$$; 2) $$\frac{3}{16}$$.