Упр.38 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) vx+x^(1/4)-6=0;
2) (x^2-4x+4)^(1/3)-2(x-2)^(1/3)-3=0.

1. $$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-6=0.$$
   Обозначим $$y=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=y^2$$. Получаем:
   $$y^2+y-6=0.$$
   Решим квадратное уравнение:
   $$ D=1+24=25, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}. $$
   Отсюда $$y_1=-3$$, $$y_2=2$$. Так как $$y=\sqrt[4]{x}\ge 0$$, подходит только $$y=2$$.
   Тогда
   $$\sqrt[4]{x}=2,\quad x=2^4=16.$$
2. $$\sqrt[3]{x^2-4x+4}-2\sqrt[3]{x-2}-3=0.$$
   Заметим, что
   $$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$
   Тогда уравнение принимает вид:
   $$\sqrt[3]{(x-2)^2}-2\sqrt[3]{x-2}-3=0.$$
   Обозначим $$y=\sqrt[3]{x-2}$$. Тогда
   $$\sqrt[3]{(x-2)^2}=y^2,$$
   и получаем:
   $$y^2-2y-3=0.$$
   Решим:
   $$ D=4+12=16, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}. $$
   Значит,
   $$y_1=-1,\quad y_2=3.$$
   Возвращаемся к переменной $$x$$:
   $$ \sqrt[3]{x-2}=-1 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1, $$
   $$ \sqrt[3]{x-2}=3 \Rightarrow x-2=27 \Rightarrow x=29. $$

Ответ

1) $$16$$; 2) $$1,\,29$$.