Упр.38.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 38.26. Найдите производную функции f(x)=x^2|x| в точке x_0=0.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2|x|.$$ Найдём производную в точке $$x_0=0$$ по определению:

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$$

Так как $$f(0)=0,$$ то

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2|x|}{x}=\lim_{x\to 0}x|x|.$$

Рассмотрим односторонние пределы.

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$x|x|=x^2,\qquad \lim_{x\to 0+}x^2=0.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$x|x|=-x^2,\qquad \lim_{x\to 0-}(-x^2)=0.$$

Оба односторонних предела равны нулю, следовательно, производная в точке $$x=0$$ существует и равна

$$f'(0)=0.$$

Ответ

$$f'(0)=0.$$