Упр.38.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 38.25. Докажите, пользуясь определением, что функция f(x)=x|x| является дифференцируемой в точке x_0=0. Проиллюстрируйте полученный результат графически.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=x|x|$$ в точке $$x_0=0$$.

По определению производной нужно найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$$f'(0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}.$$

Так как $$f(0)=0,$$ то

$$\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{\Delta x|\Delta x|}{\Delta x}=|\Delta x|,\qquad \Delta x\ne 0.$$

Тогда

$$f'(0)=\lim_{\Delta x\to 0}|\Delta x|=0.$$

Следовательно, функция $$f(x)=x|x|$$ дифференцируема в точке $$x_0=0$$, и её производная в этой точке равна нулю.

Графически это означает, что в точке $$O(0,0)$$ график имеет касательную с угловым коэффициентом $$0$$, то есть касательная совпадает с осью $$Ox$$.

Для наглядности функция задаётся по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2, & x<0,\\ x^2, & x\ge 0. \end{cases} $$