Упр.38.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 38.24. Найдите производную функции f(x)={x^2-2, если x?2; 4x-6, если x > 2} в точке x_0=2.

Найдём производную в точке $$x_0=2$$ по определению.

При $$x \le 2$$ имеем $$f(x)=x^2-2$$, тогда

$$ f'(2)=\lim_{x\to 2-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\lim_{x\to 2-}\frac{(x^2-2)-2}{x-2} =\lim_{x\to 2-}\frac{x^2-4}{x-2} $$

$$ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2, $$

$$ \lim_{x\to 2-}(x+2)=4. $$

При $$x>2$$ имеем $$f(x)=4x-6$$, тогда

$$ f'(2)=\lim_{x\to 2+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\lim_{x\to 2+}\frac{(4x-6)-2}{x-2} =\lim_{x\to 2+}\frac{4x-8}{x-2} $$

$$ \frac{4x-8}{x-2}=\frac{4(x-2)}{x-2}=4, $$

$$ \lim_{x\to 2+}4=4. $$

Левая и правая производные совпадают, значит производная в точке $$x_0=2$$ существует и равна $$4$$.

Ответ

$$f'(2)=4$$