Упр.38.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 38.22. Используя геометрический смысл производной, докажите, что функция y=v(1-x^2) не является дифференцируемой в точках x_1=-1 и x_2=1.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{1-x^2}.$$

Её график — верхняя полуокружность радиуса $$1$$ с центром в начале координат. Точки $$x=-1$$ и $$x=1$$ являются концами этой дуги: $$(-1,0)$$ и $$ (1,0).$$

По геометрическому смыслу производной производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Но в концах полуокружности нельзя провести невертикальную касательную: касательная к окружности в этих точках вертикальна.

Следовательно, в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ производная функции не существует, то есть функция не дифференцируема в этих точках.

Ответ

Функция $$y=\sqrt{1-x^2}$$ не является дифференцируемой в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$.