Упр.38.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=-1/x^2; 2) f(x)=x^2+3x-2.

1. $$f(x)=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}$$

   По определению производной:

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-\frac{1}{(x+\Delta x)^2}+\frac{1}{x^2}}{\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{x^2(x+\Delta x)^2\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{x^2(x+\Delta x)^2\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x+\Delta x}{x^2(x+\Delta x)^2}=\frac{2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}$$

2. $$f(x)=x^2+3x-2$$

   По определению производной:

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+3(x+\Delta x)-x^2-3x}{\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+3x+3\Delta x-x^2-3x}{\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2+3\Delta x}{\Delta x}$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x+3)=2x+3$$

Ответ

1) $$\frac{2}{x^3}$$; 2) $$2x+3$$.