Упр.38.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=3/x; 2) f(x)=4-x^2.
$$f(x)=\frac{3}{x}$$
По определению производной:
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$
Найдём разность:
$$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{\frac{3}{x+\Delta x}-\frac{3}{x}}{\Delta x} = \frac{3x-3(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x} = \frac{-3\Delta x}{x(x+\Delta x)\Delta x} = -\frac{3}{x(x+\Delta x)} $$
Тогда
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{3}{x(x+\Delta x)}\right) = -\frac{3}{x^2} $$
$$f(x)=4-x^2$$
По определению производной:
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$
Вычислим разность:
$$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{4-(x+\Delta x)^2-(4-x^2)}{\Delta x} $$
$$ = \frac{4-\left(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2\right)-4+x^2}{\Delta x} = \frac{-2x\Delta x-\Delta x^2}{\Delta x} = -2x-\Delta x $$
Следовательно,
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(-2x-\Delta x)=-2x $$
Ответ
1) $$f'(x)=-\frac{3}{x^2}$$; 2) $$f'(x)=-2x$$.
