Упр.37 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(3x+1)-v(x+1)=2;
2) v(1-x)+v(1+x)=1.

1) $$\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2.$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{3x+1}=\sqrt{x+1}+2.$$

Возведём в квадрат:

$$3x+1=x+1+4\sqrt{x+1}+4.$$

$$2x-4=4\sqrt{x+1}.$$

$$x-2=2\sqrt{x+1}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(x-2\right)^2=4(x+1).$$

$$x^2-4x+4=4x+4.$$

$$x^2-8x=0.$$

$$x(x-8)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=8.$$

Проверим по области допустимых значений и исходному уравнению:

при $$x=0$$: $$\sqrt{1}-\sqrt{1}=0\neq 2,$$

при $$x=8$$: $$\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2.$$

Подходит только $$x=8.$$

2) $$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1.$$

Область определения:

$$1-x\ge 0,\quad 1+x\ge 0,$$

то есть $$-1\le x\le 1.$$

Возведём уравнение в квадрат:

$$\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)^2=1.$$

$$1-x+1+x+2\sqrt{(1-x)(1+x)}=1.$$

$$2+2\sqrt{1-x^2}=1.$$

$$2\sqrt{1-x^2}=-1.$$

Левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, значит решений нет.

Ответ

1) $$8$$; 2) решений нет.