Упр.36.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x+1, x_0=1; 2) f(x)=(x^2-9)/(x+3), x_0=-1;
3) f(x)=(x^2-9)/(x+3), x_0=-3; 4) f(x)=|x-1|/(x-1), x_0=1.

Подробный ответ

$$f(x)=2x+1,\quad x_0=1.$$
Линейная функция непрерывна при всех $$x$$, значит, предел в точке $$x_0=1$$ существует и равен значению функции в этой точке:
$$\lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot 1+1=3.$$
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-1.$$
Разложим числитель на множители:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3,\quad x\ne -3.$$
В точке $$x_0=-1$$ функция совпадает с выражением $$x-3$$, поэтому
$$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -1}(x-3)=-1-3=-4.$$
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-3.$$
После сокращения получаем $$f(x)=x-3$$ при $$x\ne -3$$. Тогда
$$\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=-3-3=-6.$$
Хотя сама функция в точке $$x=-3$$ не определена, предел существует.
$$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},\quad x_0=1.$$
Рассмотрим односторонние пределы:
$$x<1:\ \frac{|x-1|}{x-1}=\frac{1-x}{x-1}=-1,$$
$$x>1:\ \frac{|x-1|}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.$$
Левый и правый пределы различны, значит, предел в точке $$x_0=1$$ не существует.