Упр.36.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Построив график функции f, выясните, имеет ли функция f предел в точке $$x_0$$:
- $$f(x)=2x+1$$, $$x_0=1$$;
- $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3}$$, $$x_0=-1$$;
- $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3}$$, $$x_0=-3$$;
- $$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$$, $$x_0=1$$.
1) $$f(x)=2x+1,\quad x_0=1.$$
Функция линейная, значит, непрерывна при всех $$x.$$ Поэтому
$$\lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot 1+1=3.$$
Предел существует.
2) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-1.$$
Разложим числитель на множители:
$$f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3,\quad x\ne -3.$$
В точке $$x_0=-1$$ функция совпадает с линейной функцией $$y=x-3,$$ значит, предел существует:
$$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -1}(x-3)=-1-3=-4.$$
Предел существует.
3) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-3.$$
При $$x\ne -3$$ имеем
$$f(x)=x-3.$$
Тогда
$$\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=-3-3=-6.$$
Предел существует.
4) $$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},\quad x_0=1.$$
Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ и
$$f(x)=\frac{1-x}{x-1}=-1.$$
Если $$x>1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и
$$f(x)=\frac{x-1}{x-1}=1.$$
Левые и правые пределы в точке $$x=1$$ различны:
$$\lim_{x\to 1-0}f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to 1+0}f(x)=1.$$
Следовательно, предел в точке $$x_0=1$$ не существует.
Ответ
1) имеет; 2) имеет; 3) имеет; 4) не имеет.
