Упр.36.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x→0)lim((2√x-3x)/(3√x-2x));
2) (x→1)lim((x-1)/(1-√x));
3) (x→1)lim((x^(1/3)-1)/(√x-1)).

1) $$\lim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{x}-3x}{3\sqrt{x}-2x}$$

Вынесем $$\sqrt{x}$$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{2\sqrt{x}-3x}{3\sqrt{x}-2x} = \frac{\sqrt{x}(2-3\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3-2\sqrt{x})} = \frac{2-3\sqrt{x}}{3-2\sqrt{x}}. $$

Теперь подставим $$x\to 0$$:

$$ \lim_{x\to 0}\frac{2-3\sqrt{x}}{3-2\sqrt{x}}=\frac{2}{3}. $$

2) $$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{1-\sqrt{x}}$$

Разложим числитель как разность квадратов:

$$ x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1). $$

Тогда

$$ \frac{x-1}{1-\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{1-\sqrt{x}} = -\left(\sqrt{x}+1\right). $$

Следовательно,

$$ \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{1-\sqrt{x}} = -(1+1)=-2. $$

3) $$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$$

Используем формулу разности степеней:

$$ x^{1/3}-1=\left(x^{1/6}-1\right)\left(x^{1/3}+x^{1/6}+1\right), $$

а также

$$ \sqrt{x}-1=x^{1/2}-1=\left(x^{1/6}-1\right)\left(x^{1/3}+x^{1/6}+1\right)\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{x^{1/6}-1}, $$

поэтому удобнее представить отношение в виде

$$ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1} = \frac{(x^{1/6}-1)(x^{1/3}+x^{1/6}+1)}{(x^{1/6}-1)(x^{1/3}+x^{1/6}+1)}\cdot \frac{x^{1/3}+x^{1/6}+1}{x^{1/2}+x^{1/3}+x^{1/6}} = \frac{x^{1/6}+1}{x^{1/3}+x^{1/6}+1}. $$

Тогда при $$x\to 1$$ получаем:

$$ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{1+1}{1+1+1} = \frac{2}{3}. $$

Ответ

$$\frac{2}{3};\ -2;\ \frac{2}{3}$$