Упр.36.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Вычислите: 1) $$\lim_{x\to 0}\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$$; 2) $$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$; 3) $$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$$.

1) $$\lim_{x\to 0}\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1.$$

2) $$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14.$$

3) $$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\lim_{x\to 1}\frac{(x^2-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x^2\sqrt{x}-\sqrt{x}-x}{1-x}.$$

Преобразуем числитель:

$$x^2+x^2\sqrt{x}-\sqrt{x}-x=x(x-1)+\sqrt{x}(x-1)(x+1)=(x-1)\bigl(x+\sqrt{x}(x+1)\bigr).$$

Тогда

$$\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\bigl(x+\sqrt{x}(x+1)\bigr)}{1-x}=\lim_{x\to 1}\bigl(-x-x\sqrt{x}-\sqrt{x}\bigr)=-1-1\cdot 1-1=-3.$$

Ответ: 1) $$-1$$; 2) $$\frac14$$; 3) $$-3$$.