Упр.36.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x→0)lim((x+√x)/(x-√x));
2) (x→4)lim((√x-2)/(x-4));
3) (x→1)lim((x^2-√x)/(1-√x)).

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$$
   
   Вынесем $$\sqrt{x}$$ в числителе и знаменателе:
   $$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.$$
   Подставим $$x=0$$:
   $$\frac{0+1}{0-1}=-1.$$

2. $$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$
   
   Разложим знаменатель на множители:
   $$x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).$$
   Тогда
   $$\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}.$$
   Подставим $$x=4$$:
   $$\frac{1}{2+2}=\frac14.$$

3. $$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$$
   
   Преобразуем числитель:
   $$x^2-\sqrt{x}=(x^2-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x}}.$$
   Удобнее раскрыть произведение:
   $$\frac{x^2-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\frac{(x^2-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}=\frac{(x^2-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{1-x}.$$
   Далее
   $$x^2-\sqrt{x}=x(x-1)+\sqrt{x}(x-1)=(x-1)(x+\sqrt{x}).$$
   Тогда
   $$\frac{(x-1)(x+\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{1-x}=-\,(x+\sqrt{x})(1+\sqrt{x}).$$
   Подставим $$x=1$$:
   $$-\,(1+1)(1+1)=-4.$$

Ответ

$$1)\,-1;\quad 2)\,\frac14;\quad 3)\,-4.$$