Упр.36.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x→3)lim((x^2-2x-3)/(x^2-5x+6));
2) (x→1)lim(1/(1-x)-3/(1-x^3)).

1. $$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{x^2-5x+6}$$

   Разложим числитель и знаменатель на множители:
   $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1), \qquad x^2-5x+6=(x-3)(x-2).$$

   Тогда
   $$\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-2)}=\lim_{x\to 3}\frac{x+1}{x-2}.$$

   Подставим $$x=3$$:
   $$\frac{3+1}{3-2}=4.$$

2. $$\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2).$$

   Тогда
   $$\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} =\frac{1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)} =\frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}.$$

   Разложим числитель:
   $$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

   Получаем
   $$\frac{(x+2)(x-1)}{(1-x)(1+x+x^2)} =-\frac{x+2}{1+x+x^2}.$$

   Теперь подставим $$x=1$$:
   $$-\frac{1+2}{1+1+1}=-\frac{3}{3}=-1.$$

Ответ

1) $$4$$; 2) $$-1$$.