Упр.35.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$2\cos^2(x)+3\cos(x)-2<0$$;
   2) $$\operatorname{tg}^2(x)+(2-\sqrt{3})\operatorname{tg}(x)-2\sqrt{3}<0$$;
   3) $$2\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-3\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)>-1$$;
   4) $$\operatorname{tg}(x)\mathord{?}2\operatorname{ctg}(x)$$.

1) Обозначим $$y=\cos x.$$ Тогда

$$2y^2+3y-2<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4},$$

откуда

$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-2<y<\frac12.$$

С учётом $$-1\le \cos x\le 1$$ получаем

$$\cos x<\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Обозначим $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2+(2-\sqrt3)y-2\sqrt3<0.$$

Найдём корни:

$$D=(2-\sqrt3)^2+8\sqrt3=4-4\sqrt3+3+8\sqrt3=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{-(2-\sqrt3)\pm(2+\sqrt3)}{2}.$$

Получаем

$$y_1=-2,\qquad y_2=\sqrt3.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-2<\tg x<\sqrt3.$$

С учётом периодичности тангенса:

$$-\arctg 2+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3) Преобразуем выражение:

$$2\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-3\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)>-1.$$

Используем тождества

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right),$$

тогда

$$2\sin^2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+3\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1>0.$$

Обозначим $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$ Тогда

$$2y^2+3y+1>0.$$

Разложим на множители:

$$2y^2+3y+1=(2y+1)(y+1).$$

Следовательно,

$$y<-1 \quad \text{или} \quad y>-\frac12.$$

Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ остаётся

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)>-\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x-\frac{\pi}{3}<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

то есть

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

4) Решим неравенство

$$\tg x\ge 2\ctg x.$$

Так как $$\ctg x=\frac{1}{\tg x},$$ то при $$\tg x\ne 0$$ имеем

$$\tg x\ge \frac{2}{\tg x}.$$

Положим $$t=\tg x.$$ Тогда

$$t\ge \frac{2}{t},\qquad t\ne 0.$$

Рассмотрим случаи:

$$t>0:\quad t^2\ge 2,\quad t\ge \sqrt2;$$

$$t<0:\quad t^2\le 2,\quad t\le -\sqrt2.$$

Значит,

$$\tg x\ge \sqrt2 \quad \text{или} \quad \tg x\le -\sqrt2.$$

С учётом периодичности тангенса получаем:

$$\arctg\sqrt2+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\arctg\sqrt2+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\arctg 2+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$\arctg\sqrt2+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\arctg\sqrt2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$