Упр.35.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2cos^2(x)+3cos(x)-2 < 0; 2) tg^2(x)+(2-v3)tg(x)-2v3 < 0; 3) 2cos^2(x+?/6)-3sin(?/3-x) > -1;
4) tg(x)?2ctg(x).

1. Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

   $$2y^2+3y-2<0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$ D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}. $$

   Отсюда $$y_1=-2,\quad y_2=\frac12.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$-2<y<\frac12.$$

   С учётом $$-1\le \cos x\le 1$$ получаем

   $$\cos x<\frac12.$$

   Следовательно,

   $$ \frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$y^2+(2-\sqrt3)y-2\sqrt3<0.$$

   Найдём корни:

   $$ D=(2-\sqrt3)^2+8\sqrt3=4-4\sqrt3+3+8\sqrt3=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-(2-\sqrt3)\pm(2+\sqrt3)}{2}. $$

   Тогда

   $$y_1=-2,\quad y_2=\sqrt3.$$

   Получаем

   $$-2<\tg x<\sqrt3.$$

   С учётом периодичности тангенса:

   $$ -\arctg 2+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

3. Преобразуем выражение:

   $$ 2\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-3\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)>-1. $$

   Так как

   $$ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right), $$

   то, положив $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right),$$ получаем

   $$2y^2-3y+1>0.$$

   Разложим на множители:

   $$2y^2-3y+1=(2y-1)(y-1).$$

   Тогда

   $$y<\frac12 \quad \text{или} \quad y>1.$$

   Но $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\le 1,$$ значит остаётся

   $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)<\frac12.$$

   Отсюда

   $$ -\frac{\pi}{6}+2\pi n<x-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{6}+2\pi n, $$

   $$ \frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

4. Рассмотрим неравенство

   $$\tg x\ge 2\ctg x.$$

   Так как $$\ctg x=\frac{1}{\tg x},$$ то при $$\tg x\ne 0$$ имеем

   $$ \tg x\ge \frac{2}{\tg x}. $$

   Обозначим $$t=\tg x.$$ Тогда

   $$ t\ge \frac{2}{t},\quad t\ne 0. $$

   Умножим на $$t^2>0$$:

   $$ t^3-2t\ge 0 $$

   $$ t(t^2-2)\ge 0. $$

   Отсюда

   $$ t\in[-\sqrt2,0)\cup[\sqrt2,+\infty). $$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$ -\arctg\sqrt2+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n, $$

   $$ \arctg\sqrt2+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

2) $$-\arctg 2+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

3) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

4) $$-\arctg\sqrt2+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \arctg\sqrt2+\pi n\le x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$