Упр.35.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^6(x)+cos^6(x)?5/8;
2) sin(x)?cos(x).

1) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x) $$
$$ =\sin^4 x+\cos^4 x-\sin^2 x\cos^2 x $$
$$ =(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-3\sin^2 x\cos^2 x =1-\frac{3}{4}\sin^2 2x. $$

Тогда неравенство принимает вид:

$$ 1-\frac{3}{4}\sin^2 2x\ge \frac{5}{8} $$
$$ \frac{3}{4}\sin^2 2x\le \frac{3}{8} $$
$$ \sin^2 2x\le \frac12. $$

Следовательно,

$$ -\frac{\sqrt2}{2}\le \sin 2x\le \frac{\sqrt2}{2}. $$

Отсюда

$$ -\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n $$
или
$$ \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z. $$

Делим на 2:

$$ -\frac{\pi}{8}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{8}+\pi n $$
или
$$ \frac{3\pi}{8}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{8}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z. $$

2) Решим неравенство $$\sin x\ge \cos x$$.

$$ \sin x-\cos x\ge 0 $$
$$ \sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0 $$
$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0. $$

Значит,

$$ \pi n\le x-\frac{\pi}{4}\le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
то есть

$$ \frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{8}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{8}+\pi n$$ или $$\frac{3\pi}{8}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$