Упр.35.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\sin^6(x)+\cos^6(x)\geq\frac{5}{8}$$;
   2) $$\sin(x)\geq\cos(x)$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x).$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^6 x+\cos^6 x=\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x.$$

Используем тождество $$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$ Тогда

$$\sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x.$$

Поскольку $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ имеем

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac14\sin^2 2x,$$

значит

$$1-\frac34\sin^2 2x\ge \frac58.$$

Отсюда

$$\frac34\sin^2 2x\le \frac38,\qquad \sin^2 2x\le \frac12.$$

Следовательно,

$$-\frac{\sqrt2}{2}\le \sin 2x\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

Решаем неравенство для $$2x$$:

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

или

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$

Делим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{8}+\pi n$$

и

$$\frac{3\pi}{8}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{8}+\pi n,$$

что можно записать компактно как

$$-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Решим неравенство $$\sin x\ge \cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin x-\cos x\ge 0.$$

Представим в виде

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0.$$

Тогда

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0,$$

откуда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$