Упр.35.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(?/3-x)+cos(?/6-x)?v3;
2) (sin(x)+cos(x))/(sin(x)-cos(x)) > v3.

Подробный ответ

1) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\ge \sqrt{3}.$$

Раскроем скобки по формулам сложения:

$$ \sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x\ge \sqrt{3} $$
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x\ge \sqrt{3} $$
$$ \sqrt{3}\cos x\ge \sqrt{3} $$
$$ \cos x\ge 1 $$

Так как $$\cos x\le 1,$$ то возможно только равенство:

$$ \cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}. $$

2) $$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}>\sqrt{3}.$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\qquad \sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right). $$

Тогда

$$ \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} = \frac{\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)} = \ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right). $$

Получаем неравенство

$$ \ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>\sqrt{3}. $$

Функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right),\; n\in\mathbb{Z},$$ поэтому

$$ \pi n