Упр.35.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)?\sqrt{3}$$;
2. $$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}>\sqrt{3}$$.

1) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\ge \sqrt{3}.$$

Раскроем скобки по формулам сложения:

$$\sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x\ge \sqrt{3}.$$

Подставим значения:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x\ge \sqrt{3}.$$

Тогда

$$\sqrt{3}\cos x\ge \sqrt{3},$$

откуда

$$\cos x\ge 1.$$

Это возможно только при

$$\cos x=1,\qquad x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}>\sqrt{3}.$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right),$$

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Тогда

$$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Получаем неравенство

$$\ctg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>\sqrt{3}.$$

Так как функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right),$$ то

$$\pi n<x-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 2) $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$