Упр.35.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) -v3/2 < cos(x)?-1/2; 4) |ctg(x)| < v3; 2) -v3/3 < tg(x) < 1; 5) |ctg(x)| > 5.
3) |sin(2x)| < v3/2;

1. $$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x\le -\frac12.$$ Значения косинуса лежат в промежутке от $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ до $$-\frac12$$ на отрезках $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$ $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n
2. $$-\frac{\sqrt{3}}{3}<\tg x<1.$$ Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$ получаем $$\pi n-\frac{\pi}{6}
3. $$|\sin 2x|<\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Это равносильно системе $$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\sin 2x<\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Тогда $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$ Делим на $$2$$: $$-\frac{\pi}{6}+\pi n
4. $$|\ctg x|<\sqrt{3}.$$ Это значит $$-\sqrt{3}<\ctg x<\sqrt{3}.$$ На каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому $$\frac{\pi}{6}+\pi n
5. $$|\ctg x|>5.$$
   Тогда
   $$\ctg x>5 \quad \text{или} \quad \ctg x<-5.$$ Так как $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right),$$ получаем $$\pi n

Ответ

1) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\; -\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x\le -\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
2) $$\pi n-\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

3) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

4) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

5) $$\pi n<x<\operatorname{arcctg}5+\pi n,\; \pi-\operatorname{arcctg}5+\pi n<x<\pi+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$