Упр.35.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) -1/2?sin(x) < 1/4; 4) |cos(3x)| < v2/2;
2) -1?ctg(x)?v3; 5) |tg(x)| > 2.
3) |cos(x)|?v2/2;
- $$-\frac12 \le \sin x < \frac14$$
Для функции $$\sin x$$ получаем:
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n \le x < \arcsin\frac14+2\pi n$$ $$\pi-\arcsin\frac14+2\pi n < x \le \frac{7\pi}{6}+2\pi n$$
где $$n \in \mathbb{Z}$$.
- $$-1 \le \ctg x \le \sqrt{3}$$
Так как функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right)$$, то
$$\frac{\pi}{6}+\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+\pi n,$$
где $$n \in \mathbb{Z}$$.
- $$|\cos x| \ge \frac{\sqrt2}{2}$$
Это равносильно системе неравенств:
$$\cos x \le -\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \cos x \ge \frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно,
$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$где $$n \in \mathbb{Z}$$.
- $$|\cos 3x| < \frac{\sqrt2}{2}$$
Тогда
$$-\frac{\sqrt2}{2} < \cos 3x < \frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{4}+2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
или
$$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},$$
где $$n \in \mathbb{Z}$$.
- $$|\tg x| > 2$$
Это равносильно неравенствам
$$\tg x < -2 \quad \text{или} \quad \tg x > 2.$$
Так как $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\arctg 2+\pi n,$$ $$\arctg 2+\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n,$$
где $$n \in \mathbb{Z}$$.
Ответ
1) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n \le x < \arcsin\frac14+2\pi n,\ \pi-\arcsin\frac14+2\pi n < x \le \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$
2) $$\frac{\pi}{6}+\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$
3) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$
4) $$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\ n \in \mathbb{Z}$$
5) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\arctg 2+\pi n,\ \arctg 2+\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$
