Упр.35.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x)?v2/2; 5) tg(x)?-1; 9) cos(x) > 3/5;
2) sin(x) > -1/2; 6) tg(x) < -v3; 10) ctg(x) < 2. 3) cos(x)?1/2; 7) ctg(x) > v3/3;
4) cos(x) > v3/2; 8) ctg(x)?1;

1. $$\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$
   
   На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем
   $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{при} \quad x=\frac{\pi}{4}.$$
   Поэтому
   $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sin x > -\frac12$$
   
   $$\sin x = -\frac12 \quad \text{при} \quad x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}.$$
   Следовательно,
   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$\cos x \le \frac12$$
   
   $$\cos x = \frac12 \quad \text{при} \quad x=\pm \frac{\pi}{3}.$$
   Тогда
   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
   
   $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{при} \quad x=\pm \frac{\pi}{6}.$$
   Значит,
   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
5. $$\tg x \ge -1$$
   
   $$\tg x = -1 \quad \text{при} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
   Учитывая возрастание функции $$\tg x$$ на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$ получаем
   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
6. $$\tg x < -\sqrt{3}$$
   $$\tg x = -\sqrt{3} \quad \text{при} \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
   Тогда
   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
7. $$\ctg x > \frac{\sqrt{3}}{3}$$
   
   $$\ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{при} \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
   Так как функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right),$$ то
   $$\pi n < x < \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
8. $$\ctg x \le 1$$
   
   $$\ctg x = 1 \quad \text{при} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
   Следовательно,
   $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
9. $$\cos x > \frac35$$
   
   Обозначим
   $$\alpha=\arccos \frac35.$$
   Тогда
   $$\cos x > \frac35 \iff -\alpha+2\pi n < x < \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
10. $$\ctg x < 2$$
    Обозначим
    $$\beta=\operatorname{arcctg} 2.$$
    Тогда
    $$\ctg x < 2 \iff \beta+\pi n < x < \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1. $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2. $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3. $$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4. $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5. $$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6. $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
7. $$\pi n < x < \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
8. $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
9. $$-\arccos \frac35+2\pi n < x < \arccos \frac35+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
10. $$\operatorname{arcctg} 2+\pi n < x < \pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$