Упр.35 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение: 1) $$\frac{a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}{a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}}\cdot\frac{a-a^{1/3}b^{2/3}}{a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}$$; 2) $$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}:\frac{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}{a^{3/2}-b^{3/2}}$$; 3) $$(1-a^{1/36})(1+a^{1/36}+a^{1/18})+\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}$$; 4) $$\frac{m^{4/3}-27m^{1/3}n}{m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3}}:\left(1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3}\right)-(m^2)^{1/3}$$.

1) $$\frac{a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}{a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}}\cdot\frac{a-a^{1/3}b^{2/3}}{a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}$$

Представим числитель и знаменатель в виде произведений:

$$a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}=\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right)^2,$$

$$a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}=a^{5/6}b^{5/6}(a^{1/3}-b^{1/3}),$$

$$a-a^{1/3}b^{2/3}=a^{1/3}(a^{2/3}-b^{2/3})=a^{1/3}(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3}),$$

$$a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}=b^{1/4}\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right).$$

Тогда

$$\frac{\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right)^2}{a^{5/6}b^{5/6}(a^{1/3}-b^{1/3})}\cdot \frac{a^{1/3}(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3})}{b^{1/4}\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right)} = \frac{\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right)\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)}{a^{1/2}b^{13/12}}.$$

2) $$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}:\frac{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}{a^{3/2}-b^{3/2}}$$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}\cdot \frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}.$$

Так как $$a^2-ab=a(a-b),$$ то

$$(a^2-ab)^{2/3}=a^{2/3}(a-b)^{2/3}.$$

Кроме того,

$$a^{3/2}+b^{3/2}=(a^{1/2}+b^{1/2})(a-b)?$$

Удобнее воспользоваться формулой разности кубов:

$$a^{3/2}-b^{3/2}=\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)\left(a+b+\sqrt{ab}\right),$$

а также

$$a^{3/2}+b^{3/2}=\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right).$$

После сокращения степеней получаем

$$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}:\frac{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}{a^{3/2}-b^{3/2}} = \frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2.$$

3) $$\left(1-a^{1/36}\right)\left(1+a^{1/36}+a^{1/18}\right)+\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}$$

Используем формулу

$$(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3,$$

где $$x=a^{1/36}.$$ Тогда

$$\left(1-a^{1/36}\right)\left(1+a^{1/36}+a^{1/18}\right)=1-a^{1/12}.$$

Далее

$$4-a^{1/6}=(2-a^{1/12})(2+a^{1/12}),$$

поэтому

$$\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}=2+a^{1/12}.$$

Следовательно,

$$1-a^{1/12}+2+a^{1/12}=3.$$

4) $$\frac{m^{4/3}-27m^{1/3}n}{m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3}}:\left(1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3}\right)-\sqrt[3]{m^2}$$

Преобразуем выражение:

$$m^{4/3}-27m^{1/3}n=m^{1/3}(m-27n),$$

$$m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3} = m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3},$$

$$1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3} = \frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}}.$$

Тогда

$$\frac{m^{1/3}(m-27n)}{m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}} :\frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}} -\sqrt[3]{m^2}.$$

Так как

$$m-27n=(m^{1/3}-3n^{1/3})(m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}),$$

то первая часть равна

$$m^{1/3}(m^{1/3}-3n^{1/3}).$$

Следовательно,

$$m^{1/3}(m^{1/3}-3n^{1/3})-\sqrt[3]{m^2} = m^{2/3}-3m^{1/3}n^{1/3}-m^{2/3} = -3\sqrt[3]{mn}.$$

Ответ

1) $$\frac{\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right)\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)}{a^{1/2}b^{13/12}}$$; 2) $$a^2+ab+b^2$$; 3) $$3$$; 4) $$-3\sqrt[3]{mn}$$.