Упр.35 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (a^(1/2)+2a^(1/4)b^(1/4)+b^(1/2))/(a^(7/6)b^(5/6)-a^(5/6)b^(7/6))·(a-a^(1/3)b^(2/3))/(a^(1/4)b^(1/4)+b^(1/2));
2) (a^(3/2)+b^(3/2))/(a^2-ab)^(2/3):(a^(-2/3)(a-b)^(1/3))/(a^(3/2)-b^(3/2));
3) (1-a^(1/36))(1+a^(1/36)+a^(1/18))+(4-a^(1/6))/(2-a^(1/12));
4) (m^(4/3)-27m^(1/3)n)/(m^(2/3)+3(mn)^(1/3)+9n^(2/3)):(1-3(n/m)^(1/3))-(m^2)^(1/3).

Подробный ответ

$$\frac{a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}{a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}}\cdot \frac{a-a^{1/3}b^{2/3}}{a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}}$$
Разложим на множители:
$$a^{1/2}+2a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}=(a^{1/4}+b^{1/4})^2,$$
$$a^{7/6}b^{5/6}-a^{5/6}b^{7/6}=a^{5/6}b^{5/6}(a^{1/3}-b^{1/3}),$$
$$a-a^{1/3}b^{2/3}=a^{1/3}(a^{2/3}-b^{2/3})=a^{1/3}(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3}),$$
$$a^{1/4}b^{1/4}+b^{1/2}=b^{1/4}(a^{1/4}+b^{1/4}).$$
Тогда
$$ \frac{(a^{1/4}+b^{1/4})^2}{a^{5/6}b^{5/6}(a^{1/3}-b^{1/3})}\cdot \frac{a^{1/3}(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3})}{b^{1/4}(a^{1/4}+b^{1/4})} = \frac{(a^{1/4}+b^{1/4})(a^{1/3}+b^{1/3})}{a^{1/2}b^{13/12}}. $$
$$\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{(a^2-ab)^{2/3}}:\frac{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}}{a^{3/2}-b^{3/2}}$$
Преобразуем:
$$a^{3/2}+b^{3/2}=\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)\left(a-b\right)?$$
Удобнее использовать разность кубов:
$$a^{3/2}-b^{3/2}=\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)\left(a+b+\sqrt{ab}\right),$$
а также
$$(a^2-ab)^{2/3}=\left(a(a-b)\right)^{2/3}=a^{2/3}(a-b)^{2/3}.$$
Тогда
$$ \frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{a^{2/3}(a-b)^{2/3}}\cdot \frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a^{-2/3}(a-b)^{1/3}} = \frac{(a^{3/2}+b^{3/2})(a^{3/2}-b^{3/2})}{(a-b)}. $$
Получаем
$$ \frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2. $$
$$\left(1-a^{1/36}\right)\left(1+a^{1/36}+a^{1/18}\right)+\frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}$$
Так как
$$\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)=1-x^3,$$
при $$x=a^{1/36}$$ имеем
$$ \left(1-a^{1/36}\right)\left(1+a^{1/36}+a^{1/18}\right)=1-a^{1/12}. $$
Кроме того,
$$ 4-a^{1/6}=(2-a^{1/12})(2+a^{1/12}), $$
значит
$$ \frac{4-a^{1/6}}{2-a^{1/12}}=2+a^{1/12}. $$
Тогда
$$ 1-a^{1/12}+2+a^{1/12}=3. $$
$$\frac{m^{4/3}-27m^{1/3}n}{m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3}}:\left(1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3}\right)-\sqrt[3]{m^2}$$
Разложим числитель:
$$ m^{4/3}-27m^{1/3}n=m^{1/3}(m-27n). $$
Знаменатель первой дроби:
$$ m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3} = \left(m^{1/3}+3n^{1/3}\right)^2-3m^{1/3}n^{1/3}, $$
а
$$ 1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3} = \frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}}. $$
После сокращения получаем:
$$ \frac{m^{1/3}(m-27n)}{m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3}} :\frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}} = \frac{m^{2/3}(m-27n)}{m-27n} = m^{2/3}. $$
Тогда всё выражение равно
$$ m^{2/3}-\sqrt[3]{m^2}=0. $$