Упр.35.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)+2sin(x) > 0;
2) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x) < 0; 3) sin^2(x)+sin^2(2x)-sin^2(3x) > 0;
4) cos(x)cos(3x) < cos(5x)cos(7x).

1. $$\sin 2x+2\sin x>0$$

   $$2\sin x\cos x+2\sin x>0$$

   $$2\sin x(\cos x+1)>0$$

   Так как $$\cos x+1\ge 0$$, то неравенство выполняется при
   $$\sin x>0,$$
   а также нужно исключить точки, где $$\cos x+1=0$$, то есть $$x=\pi+2\pi n$$.

   Поэтому
   $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x<0$$

   Группируем слагаемые:
   $$\sin x+\sin 4x+\sin 2x+\sin 3x<0.$$

   Используем формулу суммы синусов:
   $$\sin x+\sin 4x=2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2},$$
   $$\sin 2x+\sin 3x=2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

   Тогда
   $$ 2\sin\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)<0. $$

   По формуле
   $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
   получаем
   $$ 4\sin\frac{5x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}<0. $$

   Нули множителей:
   $$\sin\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{5},$$
   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=\pi+2\pi n.$$

   Рассматривая знаки на промежутках между соседними нулями, получаем:
   $$ -\frac{2\pi}{5}+2\pi n<x<2\pi n, $$
   $$ \frac{2\pi}{5}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
   $$ \frac{4\pi}{5}+2\pi n<x<\pi+2\pi n, $$
   $$ \frac{6\pi}{5}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$\sin^2x+\sin^22x-\sin^23x>0$$

   Переходим к косинусам:
   $$ \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac{1-\cos 6x}{2}>0. $$

   После преобразований:
   $$ \cos 6x-(\cos 2x+\cos 4x)>-1. $$

   Используем формулы приведения:
   $$ \cos 2x+\cos 4x=2\cos 3x\cos x, $$
   $$ \cos 6x=2\cos^23x-1. $$

   Тогда
   $$ 2\cos^23x-1-2\cos 3x\cos x>-1, $$
   $$ \cos^23x-\cos 3x\cos x>0, $$
   $$ \cos 3x(\cos 3x-\cos x)>0. $$

   По формуле
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
   имеем
   $$ \cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x. $$

   Значит,
   $$ -2\cos 3x\sin 2x\sin x>0, $$
   или
   $$ \cos 3x\sin 2x\sin x<0. $$

   Нули множителей:
   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
   $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$
   $$\cos 3x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

   После исследования знаков на промежутках получаем:
   $$ \frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
   $$ \frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$\cos x\cos 3x<\cos 5x\cos 7x$$

   Преобразуем произведения в суммы:
   $$ \cos x\cos 3x=\frac{\cos 4x+\cos 2x}{2}, $$
   $$ \cos 5x\cos 7x=\frac{\cos 12x+\cos 2x}{2}. $$

   Тогда
   $$ \cos 4x<\cos 12x, $$
   $$ \cos 12x-\cos 4x>0. $$

   По формуле разности косинусов:
   $$ -2\sin 8x\sin 4x>0, $$
   то есть
   $$ \sin 4x\sin 8x<0. $$

   Нули множителей:
   $$\sin 4x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$
   $$\sin 8x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}.$$

   Исследуя знаки на промежутках между соседними нулями, получаем:
   $$ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, $$
   $$ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$-\frac{2\pi}{5}+2\pi n<x<2\pi n,\ \frac{2\pi}{5}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{5}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ \frac{6\pi}{5}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$