Упр.35.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)-sin(3x) > 0; 3) 1-sin(2x)?cos(x)-sin(x);
2) cos(2x)tg(x) > 0; 4) sin(x)+sin(2x)+sin(3x) > 0.

1. $$\sin 2x-\sin 3x>0$$

   Используем формулу разности синусов:

   $$\sin 2x-\sin 3x=2\cos\frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}<0.$$

   Нули множителей:

   $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n,$$

   $$\cos\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}.$$

   По знакам на промежутках получаем:

   $$\frac{\pi}{5}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{5}+2\pi n,$$

   $$\pi+2\pi n<x<\frac{7\pi}{5}+2\pi n,$$

   $$\frac{9\pi}{5}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 2x\cdot\tg x>0$$

   Область определения: $$\cos x\neq 0.$$

   Нули множителей:

   $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

   $$\cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   Решение неравенства:

   $$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$1-\sin 2x\ge \cos x-\sin x$$

   Преобразуем левую часть:

   $$1-\sin 2x=1-2\sin x\cos x=(\cos x-\sin x)^2.$$

   Тогда

   $$ (\cos x-\sin x)^2-(\cos x-\sin x)\ge 0,$$

   $$ (\cos x-\sin x)\bigl(\cos x-\sin x-1\bigr)\ge 0.$$

   Рассмотрим множители.

   1) $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   2) $$\cos x-\sin x-1=0.$$

   Преобразуем:

   $$\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n.$$

   По знакам произведения получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le 2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x>0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

   Тогда

   $$2\sin 2x\cos x+\sin 2x>0,$$

   $$\sin 2x(2\cos x+1)>0.$$

   Нули множителей:

   $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$

   $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

   По знакам получаем:

   $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,$$

   $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{5}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{5}+2\pi n,\ \pi+2\pi n<x<\frac{7\pi}{5}+2\pi n,\ \frac{9\pi}{5}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le 2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$