Упр.35.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2sin^2(x)+v3sin(x)-3?0; 3) 4sin^4(x)+12cos^2(x)-7 < 0; 2) ctg^2(x)+ctg(x)?0; 4) 2/(tg(x)+1) < 2-tg(x).

1. $$2\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x-3\ge 0.$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда

   $$2y^2+\sqrt{3}y-3\ge 0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=(\sqrt{3})^2-4\cdot 2\cdot(-3)=3+24=27,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-\sqrt{3}\pm 3\sqrt{3}}{4}.$$

   Отсюда

   $$y_1=-\sqrt{3},\qquad y_2=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Так как $$-\sqrt{3}<-1,$$ а $$\sin x\in[-1,1],$$ то остаётся

   $$\sin x\ge \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg^2 x+\ctg x\ge 0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\ctg x(\ctg x+1)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$\ctg x\le -1 \quad \text{или} \quad \ctg x\ge 0.$$

   Переходя к тангенсу, получаем:

   $$\tg x\in(-\infty,-1]\cup[0,+\infty).$$

   Значит,

   $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n$$

   или

   $$\frac{3\pi}{4}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. $$4\sin^4 x+12\cos^2 x-7<0.$$

   Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$4\sin^4 x+12(1-\sin^2 x)-7<0,$$

   $$4\sin^4 x-12\sin^2 x+5<0.$$

   Положим $$y=\sin^2 x$$. Тогда

   $$4y^2-12y+5<0.$$

   Найдём корни:

   $$D=12^2-4\cdot 4\cdot 5=64,$$

   $$y_{1,2}=\frac{12\pm 8}{8},\qquad y_1=\frac12,\quad y_2=\frac52.$$

   Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то подходит только промежуток

   $$\frac12<\sin^2 x<1.$$

   Следовательно,

   $$\frac12<\frac{1-\cos 2x}{2}\le 1,$$

   откуда

   $$\cos 2x<0.$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\frac{3\pi}{2}+\pi n,$$

   то есть

   $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\frac{2}{\tg x+1}<2-\tg x.$$

   Область определения: $$\tg x\ne -1.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{2}{\tg x+1}-2+\tg x<0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2-2(\tg x+1)+\tg x(\tg x+1)}{\tg x+1}<0,$$

   $$\frac{\tg^2 x-\tg x}{\tg x+1}<0,$$

   $$\frac{\tg x(\tg x-1)}{\tg x+1}<0.$$

   Рассмотрим знаки множителей. Критические точки: $$\tg x=-1,\,0,\,1.$$

   Получаем:

   $$-1<\tg x<0 \quad \text{или} \quad \tg x>1.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<0+\pi n$$

   или

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z; \qquad \frac{3\pi}{4}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\pi n,\ n\in\mathbb Z; \qquad \frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$