Упр.35.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x) < 1/2; 5) tg(x) < -1; 9) sin(x) < 1/6; 2) sin(x)?-v3/2; 6) tg(x)?v3/3; 10) tg(x) > 3.
3) cos(x) > v2/2; 7) ctg(x)?v3;
4) cos(x)?v3/2; 8) ctg(x) > -1;

1. $$\sin x<\frac12$$
   
   Значение $$\sin x=\frac12$$ достигается при $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ и $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
   
   Тогда
   $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sin x\ge -\frac{\sqrt3}{2}$$
   
   Граница: $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$ при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ и $$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$.
   
   Поэтому
   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$\cos x>\frac{\sqrt2}{2}$$
   
   Равенство $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$ выполняется при $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$.
   
   Следовательно,
   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$\cos x\le \frac{\sqrt3}{2}$$
   
   Равенство $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$$ при $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ и $$x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$$.
   
   Тогда
   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
5. $$\tg x<-1$$
   
   Так как $$\tg x=-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$, а функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем
   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
6. $$\tg x\ge \frac{\sqrt3}{3}$$
   
   Равенство $$\tg x=\frac{\sqrt3}{3}$$ при $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
   
   Поэтому
   $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
7. $$\ctg x\le \sqrt3$$
   
   Равенство $$\ctg x=\sqrt3$$ при $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$. На каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает.
   
   Следовательно,
   $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
8. $$\ctg x>-1$$
   
   Равенство $$\ctg x=-1$$ при $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$. На промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, значит
   $$\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
9. $$\sin x<\frac16$$
   
   Пусть $$\alpha=\arcsin\frac16$$, тогда $$\sin x=\frac16$$ при $$x=\alpha+2\pi n$$ и $$x=\pi-\alpha+2\pi n$$.
   
   Следовательно,
   $$\pi-\arcsin\frac16+2\pi n<x<2\pi+\arcsin\frac16+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
10. $$\tg x>3$$
    
    Пусть $$\beta=\arctan 3$$. Так как $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем
    $$\arctan 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1. $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2. $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3. $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4. $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5. $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6. $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
7. $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
8. $$\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
9. $$\pi-\arcsin\frac16+2\pi n<x<2\pi+\arcsin\frac16+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
10. $$\arctan 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$