Упр.34.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(x)cos(2x)cos(4x)cos(8x)=1/16;
2) cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+cos(4x)=-0,5.

1. $$\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\frac{1}{16}$$

   Используем формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$ последовательно:

   $$ \sin x\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\frac{\sin x}{16} $$
   $$ \frac{\sin 2x\cos 2x\cos 4x\cos 8x}{2}=\frac{\sin x}{16} $$
   $$ \frac{\sin 4x\cos 4x\cos 8x}{2}=\frac{\sin x}{8} $$
   $$ \frac{\sin 8x\cos 8x}{2}=\frac{\sin x}{4} $$
   $$ \frac{\sin 16x}{2}=\frac{\sin x}{2} $$
   $$ \sin 16x-\sin x=0 $$
   $$ 2\sin\frac{15x}{2}\cos\frac{17x}{2}=0 $$

   Отсюда

   $$ \sin\frac{15x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{17x}{2}=0. $$

   $$ \frac{15x}{2}=\pi k \Rightarrow x=\frac{2\pi k}{15}, $$
   $$ \frac{17x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{17}+\frac{2\pi n}{17}, $$
   где $$k,n\in\mathbb Z.$$

   Проверка показывает, что значения $$x=\pi p$$ и $$x=\pi+2\pi m$$ не подходят, поэтому остаются найденные серии решений.

2. $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=-0{,}5$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$ (\cos x+\cos 4x)+(\cos 2x+\cos 3x)=-\frac12 $$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$ 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}+2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}=-\frac12 $$
   $$ 2\cos\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=-\frac12 $$

   Снова применим формулу суммы косинусов:

   $$ \cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}=2\cos x\cos\frac{x}{2} $$

   Тогда

   $$ 4\cos\frac{5x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}=-\frac12 $$

   Преобразуем левую часть через произведение синусов и косинусов, получаем:

   $$ \sin\frac{9x}{2}-\sin\frac{x}{2}=-\sin\frac{x}{2} $$
   $$ \sin\frac{9x}{2}=0 $$

   Следовательно,

   $$ \frac{9x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{9}, $$
   где $$n\in\mathbb Z.$$

   Проверка исключает значения $$x=2\pi p$$, поэтому окончательно:

Ответ

1) $$x=\frac{2\pi k}{15},\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{17}+\frac{2\pi n}{17},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{2\pi n}{9},\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 9p,\ p\in\mathbb Z.$$