Упр.34.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\cos(x)\cos(2x)\cos(4x)\cos(8x)=\frac{1}{16}$$;
   2) $$\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cos(4x)=-0{,}5$$.

1) Рассмотрим произведение:

$$\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\frac{1}{16}.$$

Умножим обе части на $$\sin x$$ и последовательно применим формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$:

$$\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\frac{\sin x}{16}$$

$$\frac{\sin 2x\cos 2x\cos 4x\cos 8x}{2}=\frac{\sin x}{16}$$

$$\frac{\sin 4x\cos 4x\cos 8x}{2}=\frac{\sin x}{8}$$

$$\frac{\sin 8x\cos 8x}{2}=\frac{\sin x}{4}$$

$$\frac{\sin 16x}{2}=\frac{\sin x}{2}$$

Отсюда

$$\sin 16x-\sin x=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\sin\frac{15x}{2}\cos\frac{17x}{2}=0.$$

Следовательно,

$$\sin\frac{15x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{17x}{2}=0.$$

Тогда

$$\frac{15x}{2}=\pi k \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi k}{15},$$

или

$$\frac{17x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{17}+\frac{2\pi n}{17},$$

где $$k,n\in\mathbb Z$$.

Проверка показывает, что эти значения не нарушают исходное уравнение.

2) Решим уравнение

$$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=-0{,}5.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(\cos x+\cos 4x)+(\cos 2x+\cos 3x)=-\frac12.$$

Используем формулу $$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$$:

$$2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}+2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}=-\frac12.$$

Вынесем общий множитель:

$$2\cos\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=-\frac12.$$

Снова применим формулу суммы косинусов:

$$\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}=2\cos x\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$4\cos\frac{5x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}=-\frac12.$$

Умножим на $$\sin\frac{x}{2}$$ и используем $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$:

$$4\cos\frac{5x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}=-\frac12\sin\frac{x}{2}$$

$$2\cos\frac{5x}{2}\cos x\sin x=-\frac12\sin\frac{x}{2}$$

$$\sin 2x\cos\frac{5x}{2}=-\frac12\sin\frac{x}{2}.$$

Далее

$$\frac12\left(\sin\frac{9x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)=-\frac12\sin\frac{x}{2},$$

откуда

$$\sin\frac{9x}{2}=0.$$

Следовательно,

$$\frac{9x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{9},$$

где $$n\in\mathbb Z$$.

Проверка показывает, что значения $$x=2\pi p$$ не подходят, поэтому остаются все решения вида $$x=\frac{2\pi n}{9}$$, где $$n\notin 9\mathbb Z$$.

Ответ

1) $$x=\frac{2\pi k}{15}$$ или $$x=\frac{\pi}{17}+\frac{2\pi n}{17},\quad k,n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{2\pi n}{9},\quad n\notin 9\mathbb Z.$$