Упр.34.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) vcos(x) sin(x)=0;
2) v(cos(x)-v2/2) sin(x)=0;
3) vsin(x) (4-5cos(x)-2sin^2(x))=0.

1. $$\sqrt{\cos x}\,\sin x=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{\cos x}=0.$$

   Тогда

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
   $$\sqrt{\cos x}=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Но при $$\cos x=0$$ корень определён, а при $$\cos x=0$$ действительно получаем ноль. Поэтому решения:

   $$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt{\cos x-\frac{\sqrt2}{2}}\,\sin x=0$$

   Снова произведение равно нулю, если

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\frac{\sqrt2}{2}=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
   $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Проверка области определения: при найденных значениях подкоренное выражение неотрицательно.

3. $$\sqrt{\sin x}\,(4-5\cos x-2\sin^2 x)=0$$

   Тогда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 4-5\cos x-2\sin^2 x=0.$$

   Рассмотрим второе уравнение. Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$ 4-5\cos x-2(1-\cos^2 x)=0 $$
   $$ 2\cos^2 x-5\cos x+2=0. $$

   Решим квадратное уравнение:

   $$ D=25-16=9, $$
   $$ \cos x=\frac{5\pm 3}{4}. $$

   Получаем:

   $$\cos x=2 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

   Значение $$\cos x=2$$ невозможно, значит остаётся

   $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Также из $$\sqrt{\sin x}$$ следует условие $$\sin x\ge 0$$, поэтому из решений для $$\cos x=\frac12$$ подходит только

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   И ещё

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

   при этом условие $$\sin x\ge 0$$ выполняется для всех таких значений, а подкоренное выражение равно нулю.

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$