Упр.34.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) vsin(x) cos(x)=0;
2) v(ctg(x)-v3) cos(x)=0;
3) vcos(x) (8sin(x)+5-2cos(2x))=0.

Подробный ответ

Решение

$$\sqrt{\sin x}\cos x=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$\sqrt{\sin x}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
Из $$\sqrt{\sin x}=0$$ получаем $$\sin x=0$$, то есть
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Из $$\cos x=0$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sqrt{\ctg x-\sqrt{3}}\cos x=0.$$
Тогда
$$\sqrt{\ctg x-\sqrt{3}}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
Из первого уравнения:
$$\ctg x-\sqrt{3}=0,\quad \ctg x=\sqrt{3},$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Условие $$\cos x=0$$ даёт
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
но эти значения не входят в область определения выражения под корнем, поэтому не подходят.
$$\sqrt{\cos x\,(8\sin x+5-2\cos 2x)}=0.$$
Следовательно,
$$\cos x\,(8\sin x+5-2\cos 2x)=0.$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$ 8\sin x+5-2(1-2\sin^2 x)=0 $$
$$ 4\sin^2 x+8\sin x+3=0. $$
Решим квадратное уравнение:
$$ D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16, $$
$$ \sin x=\frac{-8\pm 4}{2\cdot 4}. $$
Получаем:
$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac32.$$
Значение $$\sin x=-\frac32$$ невозможно, значит остаётся
$$\sin x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Кроме того, из $$\cos x=0$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$