Упр.34.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (cos^2(2x)-sin^2(x))/(sin(3x)-1)=0;
2) (cos(x)+cos(3x)+2)/(sin(x/2)-1/2)=0.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение
$$\frac{\cos^2 2x-\sin^2 x}{\sin 3x-1}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\cos^2 2x-\sin^2 x=0, \qquad \sin 3x-1\ne 0.$$
Преобразуем числитель:
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$
тогда
$$\cos^2 2x-\frac{1-\cos 2x}{2}=0.$$
Умножим на $2$:
$$2\cos^2 2x+\cos 2x-1=0.$$
Обозначим $t=\cos 2x$. Тогда
$$2t^2+t-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$
1) Если $$\cos 2x=\frac12,$$ то
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Проверим знаменатель:
$$\sin 3x\ne 1.$$
При $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ получаем $$\sin 3x=\sin\left(\frac{\pi}{2}+3\pi n\right)=(-1)^n,$$ поэтому при чётных $n$ знаменатель обращается в нуль. Значит, нужно исключить $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$
При $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ значение $$\sin 3x$$ не равно $1$, поэтому эти корни подходят.
2) Если $$\cos 2x=-1,$$ то
$$2x=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Проверка знаменателя:
$$\sin 3x=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right)=\pm 1,$$
и при этих значениях $$\sin 3x-1\ne 0$$ не всегда выполняется. Подходят только те значения, для которых $$\sin 3x\ne 1.$$
В итоге из этого случая получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Итак,
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Рассмотрим уравнение
$$\frac{\cos x+\cos 3x+2}{\sin \frac{x}{2}-\frac12}=0.$$
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\cos x+\cos 3x+2=0,\qquad \sin \frac{x}{2}-\frac12\ne 0.$$
Преобразуем числитель:
$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x,$$
но удобнее заметить, что
$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x,$$
и тогда
$$\cos x+\cos 3x+2=0.$$
Проверим возможные значения. Если $$\cos x=-1,$$ то
$$x=\pi+2\pi n.$$
Подстановка даёт
$$\cos 3x=\cos(3\pi+6\pi n)=-1,$$
и числитель равен нулю.
Проверим знаменатель:
$$\sin \frac{x}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n,$$
поэтому $$\sin \frac{x}{2}-\frac12\ne 0.$$
Следовательно,
$$x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$