Упр.34.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (cos(x)-4sin^2(x)cos(x))/(sin(3x)+1)=0;
2) (sin(x)+cos(4x)-2)/(2cos(x/2)-v2)=0.

1. $$\frac{\cos x-4\sin^2 x\cos x}{\sin 3x+1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

   Числитель:

   $$\cos x-4\sin^2 x\cos x=0$$
   $$\cos x(1-4\sin^2 x)=0$$
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-4\sin^2 x=0$$
   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$4\sin^2 x=1 \Rightarrow \sin x=\pm \frac12$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

   Проверим знаменатель:

   $$\sin 3x+1\ne 0 \Rightarrow \sin 3x\ne -1$$
   $$3x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   Полученные значения не обращают знаменатель в нуль, поэтому они подходят.

2. $$\frac{\sin x+\cos 4x-2}{2\cos \frac{x}{2}-\sqrt2}=0$$

   Найдём, когда числитель равен нулю:

   $$\sin x+\cos 4x-2=0$$
   $$\sin x=1,\quad \cos 4x=1$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   $$4x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

   Общие решения этих уравнений:

   $$x=\frac{\pi}{2}+4\pi n$$
   $$x=\frac{3\pi}{2}+4\pi n$$

   Теперь проверим знаменатель:

   $$2\cos \frac{x}{2}-\sqrt2\ne 0$$
   $$\cos \frac{x}{2}\ne \frac{\sqrt2}{2}$$
   $$\frac{x}{2}\ne \pm \frac{\pi}{4}+2\pi n$$
   $$x\ne \pm \frac{\pi}{2}+4\pi n$$

   Из найденных корней исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю. Остаются:

   $$x=\frac{3\pi}{2}+4\pi n$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\; n\in\mathbb Z$$