Упр.34.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(3-x)cos(?x)=0;
2) v(49-4x^2)(sin(?x)+3cos(?x/2))=0.

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{3-x}\cos \pi x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{3-x}=0 \quad \text{или} \quad \cos \pi x=0.$$

1) $$\sqrt{3-x}=0 \Rightarrow 3-x=0 \Rightarrow x=3.$$

2) $$\cos \pi x=0 \Rightarrow \pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\frac12+n.$$

При этом должно выполняться условие существования корня:

$$3-x\ge 0 \Rightarrow x\le 3.$$

Значит, $$\frac12+n\le 3 \Rightarrow n\le 2.$$

Итак, решения первого уравнения:

$$x=3,\quad x=\frac12+n,\; n\le 2.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{49-4x^2}\left(\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если

$$\sqrt{49-4x^2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}=0.$$

1) $$\sqrt{49-4x^2}=0 \Rightarrow 49-4x^2=0 \Rightarrow x=\pm \frac72.$$

2) Решим уравнение

$$\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}=0.$$

Используем формулу $$\sin \pi x=2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}.$$ Тогда

$$2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+3\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$

$$\cos \frac{\pi x}{2}\left(2\sin \frac{\pi x}{2}+3\right)=0.$$

Отсюда

$$\cos \frac{\pi x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\sin \frac{\pi x}{2}+3=0.$$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\sin \frac{\pi x}{2}\in[-1;1].$$

Поэтому

$$\cos \frac{\pi x}{2}=0 \Rightarrow \frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

$$x=1+2n.$$

Теперь учитываем область определения корня:

$$49-4x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le \frac{49}{4} \Rightarrow |x|\le \frac72.$$

Из чисел вида $$x=1+2n$$ в этот промежуток попадают только $$x=-1,\;1,\;3.$$

Итак, решения второго уравнения:

$$x=-\frac72,\; -1,\; 1,\; \frac72,\; 3.$$

Ответ

1) $$x=3,\; x=\frac12+n,\; n\le 2.$$

2) $$x=-\frac72,\; -1,\; 1,\; 3,\; \frac72.$$