Упр.34.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (2sin^2(x)+3sin(x))/(1-cos(x))=0;
2) sin(x)/(1+cos(x))=1-cos(x);
3) sin(2x)/(1-cos(x))=2sin(x).

1. $$\frac{2\sin^2 x+3\sin x}{1-\cos x}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$2\sin^2 x+3\sin x=0$$
   $$\sin x(2\sin x+3)=0$$

   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3=0$$

   Второе уравнение не имеет решений, так как $$\sin x=-\frac{3}{2}$$ невозможно.

   Значит,
   $$\sin x=0,\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим знаменатель:
   $$1-\cos x\ne 0 \Rightarrow \cos x\ne 1,$$
   то есть $$x\ne 2\pi n.$$

   Поэтому остаются только нечётные кратные $$\pi$$:
   $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\frac{\sin x}{1+\cos x}=1-\cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{\sin x-(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x}=0$$
   $$\frac{\sin x-(1-\cos^2 x)}{1+\cos x}=0$$
   $$\frac{\sin x-\sin^2 x}{1+\cos x}=0$$

   Тогда
   $$\sin x(1-\sin x)=0.$$

   Получаем:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
   2) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим знаменатель:
   $$1+\cos x\ne 0 \Rightarrow \cos x\ne -1,$$
   то есть $$x\ne \pi+2\pi n.$$

   Оба найденных семейства решений подходят.

3. $$\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=2\sin x$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$\frac{2\sin x\cos x}{1-\cos x}=2\sin x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{2\sin x\cos x-2\sin x(1-\cos x)}{1-\cos x}=0$$
   $$\frac{2\sin x(2\cos x-1)}{1-\cos x}=0$$

   Тогда
   $$2\sin x(2\cos x-1)=0.$$

   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
   2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим знаменатель:
   $$1-\cos x\ne 0 \Rightarrow \cos x\ne 1,$$
   значит $$x\ne 2\pi n.$$

   Все найденные значения, кроме $$x=2\pi n$$, подходят.

Ответ

1) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
2) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
3) $$x=\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$