Упр.34.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\frac{2\sin^2(x)+3\sin(x)}{1-\cos(x)}=0$$;
2. $$\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=1-\cos(x)$$;
3. $$\frac{\sin(2x)}{1-\cos(x)}=2\sin(x)$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2\sin^2 x+3\sin x}{1-\cos x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$2\sin^2 x+3\sin x=0,$$

$$\sin x(2\sin x+3)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3=0.$$

Уравнение $$2\sin x+3=0$$ не имеет решений, так как $$\sin x=-\frac32$$ невозможно.

Значит,

$$\sin x=0,\quad x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель:

$$1-\cos x\ne 0 \;\Rightarrow\; \cos x\ne 1,$$

то есть $$x\ne 2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Решим уравнение

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=1-\cos x.$$

ОДЗ: $$1+\cos x\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne -1.$$

Умножим обе части на $$1+\cos x$$:

$$\sin x=(1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$

Получаем

$$\sin x-\sin^2 x=0,$$

$$\sin x(1-\sin x)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Если $$\sin x=0,$$ то $$x=\pi n,$$ но с учётом ОДЗ исключаем $$x=\pi+2\pi n$$, так как там $$\cos x=-1.$$ Остаётся

$$x=2\pi n.$$

Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Итак,

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) Решим уравнение

$$\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=2\sin x.$$

ОДЗ: $$1-\cos x\ne 0,$$ значит $$\cos x\ne 1,$$ то есть $$x\ne 2\pi n.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\frac{2\sin x\cos x}{1-\cos x}=2\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2\sin x\cos x-2\sin x(1-\cos x)}{1-\cos x}=0.$$

Тогда

$$2\sin x\cos x-2\sin x+2\sin x\cos x=0,$$

$$2\sin x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ но $$x=2\pi n$$ не подходят по ОДЗ, значит

$$x=\pi+2\pi n.$$

2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Итак,

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=2\pi n,\; \frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; \pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$