Упр.34.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(2x)+sin(2x)=8/3ctg(x);
2) tg(2x-?/3)=v3/3+3ctg(2x);
3) 2tg(?/4+x)+5v3tg(?/3+x)=-7.

1. $$\tg 2x+\sin 2x=\frac{8}{3}\ctg x.$$

   Используем формулы $$\tg 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$$ и $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$:

   $$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\sin 2x=\frac{8}{3}\frac{\cos x}{\sin x} $$
   $$ \sin 2x\left(\frac{1}{\cos 2x}+1\right)=\frac{8}{3}\frac{\cos x}{\sin x} $$
   $$ \sin 2x\cdot \frac{\cos 2x+1}{\cos 2x}=\frac{8}{3}\frac{\cos x}{\sin x} $$
   $$ \frac{2\sin x\cos x\cdot 2\cos^2 x}{2\cos^2 x-1}=\frac{8}{3}\frac{\cos x}{\sin x} $$
   $$ 12\sin^2 x\cos^2 x=16\cos^2 x-8 $$
   $$ 3(1-\cos^2 x)\cos^2 x=4\cos^2 x-2 $$
   $$ 3\cos^4 x+\cos^2 x-2=0. $$

   Положим $$t=\cos^2 x$$. Тогда

   $$ 3t^2+t-2=0, $$
   $$ D=1+24=25, $$
   $$ t_1=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3},\qquad t_2=\frac{-1-5}{6}=-1. $$

   Так как $$\cos^2 x\ge 0$$, получаем $$\cos^2 x=\frac{2}{3}$$, то есть

   $$ \tg^2 x=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1/3}{2/3}=\frac12, $$
   $$ \tg x=\pm \frac{\sqrt2}{2}. $$

   Кроме того, возможны значения, при которых $$\cos x=0$$. Тогда $$\ctg x=0$$ и исходное уравнение выполняется:

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

2. $$\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{3}+3\ctg 2x.$$

   Пусть $$t=\tg 2x$$. Тогда

   $$ \frac{t-\tg \frac{\pi}{3}}{1+t\tg \frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt3}{3}+\frac{3}{t}, $$
   $$ \frac{t-\sqrt3}{1+\sqrt3\,t}=\frac{\sqrt3}{3}+\frac{3}{t}. $$

   После преобразований получаем линейное уравнение относительно $$\frac{1}{t}$$:

   $$ 3\cdot \frac{1}{t}=-\frac{13}{\sqrt3}, $$
   $$ t=-\frac{3\sqrt3}{13}. $$

   Значит,

   $$ \tg 2x=-\frac{3\sqrt3}{13}, $$
   $$ 2x=-\arctg\frac{3\sqrt3}{13}+\pi n, $$
   $$ x=-\frac12\arctg\frac{3\sqrt3}{13}+\frac{\pi n}{2}. $$

   Проверим возможные значения, когда $$\ctg 2x=0$$, то есть

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$

   Подстановка показывает, что эти значения подходят.

3. $$2\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+5\sqrt3\,\tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=-7.$$

   Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда

   $$ \tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1+t}{1-t},\qquad \tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{\sqrt3+t}{1-\sqrt3\,t}. $$

   Подставим:

   $$ 2\cdot \frac{1+t}{1-t}+5\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3+t}{1-\sqrt3\,t}=-7. $$

   После приведения к общему знаменателю получаем:

   $$ \sqrt3\,t+5t=6, $$
   $$ t=\frac{6}{\sqrt3+5}=\frac{3(5-\sqrt3)}{11}. $$

   Следовательно,

   $$ x=\arctg\frac{3(5-\sqrt3)}{11}+\pi n. $$

   Проверим возможные значения, когда $$\ctg x=0$$, то есть $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$. Подстановка даёт верное равенство, значит эти значения тоже подходят.

Ответ

1) $$x=\pm \arctg\frac{\sqrt2}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n;$$
2) $$x=-\frac12\arctg\frac{3\sqrt3}{13}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};$$
3) $$x=\arctg\frac{3(5-\sqrt3)}{11}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$