Упр.34.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(2x+5?/3)=2ctg(2x)+v3/3;
2) (2ctg(x)+3)/tg(x+?/6)=-v3.

1. Решим уравнение

   $$\tg\left(2x+\frac{5\pi}{3}\right)=2\ctg 2x+\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Используем формулу суммы:

   $$\tg\left(2x+\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\tg 2x+\tg \frac{5\pi}{3}}{1-\tg 2x \tg \frac{5\pi}{3}}=\frac{\tg 2x-\sqrt3}{1+\sqrt3\,\tg 2x}.$$

   Тогда

   $$\frac{\tg 2x-\sqrt3}{1+\sqrt3\,\tg 2x}=2\ctg 2x+\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Обозначим $$t=\tg 2x$$, тогда $$\ctg 2x=\frac1t$$. Получаем:

   $$\frac{t-\sqrt3}{1+\sqrt3 t}=\frac{2}{t}+\frac{\sqrt3}{3}.$$

   После преобразований:

   $$t-\sqrt3=\frac{2}{t}+2\sqrt3+\frac{\sqrt3}{3}+\sqrt3 t,$$

   $$2\cdot \frac1t=-3\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3},$$

   $$2\cdot \frac1t=-\frac{10}{\sqrt3}, \qquad t=-\frac{5}{\sqrt3}.$$

   Следовательно,

   $$\tg 2x=-\frac{5}{\sqrt3},$$

   $$2x=-\arctg\frac{5}{\sqrt3}+\pi n,$$

   $$x=-\frac12\arctg\frac{5}{\sqrt3}+\frac{\pi n}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим возможное значение, когда $$\ctg 2x=0$$, то есть

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   Подстановка показывает, что это значение подходит.

2. Решим уравнение

   $$\frac{2\ctg x+3}{\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=-\sqrt3.$$

   Перенесём знаменатель:

   $$2\ctg x+3=-\sqrt3\,\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Используем формулу суммы:

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\tg x+\tg \frac{\pi}{6}}{1-\tg x \tg \frac{\pi}{6}}=\frac{\tg x+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}\tg x}.$$

   Тогда

   $$2\cdot \frac1{\tg x}+3=-\sqrt3\cdot \frac{\tg x+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}\tg x}.$$

   После преобразований получаем:

   $$6\cdot \frac1{\tg x}=2\sqrt3-12,$$

   $$\tg x=\frac{3}{\sqrt3-6}=-\frac{6+\sqrt3}{11}.$$

   Следовательно,

   $$x=-\arctg\frac{6+\sqrt3}{11}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим возможное значение $$\ctg x=0$$, то есть

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Подстановка даёт верное равенство, значит это тоже решение.

Ответ

1) $$x=-\frac12\arctg\frac{5}{\sqrt3}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\arctg\frac{6+\sqrt3}{11}+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$