Упр.34.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)/(1-cos(2x))=0;
2) (sin^2(x)+sin(x))/(1+cos(x))=0;
3) (8sin(x)cos(x)sin(2x)-1)/(v3+2sin(4x))=0;
4) sin(2x)/(1+sin(x))=-2cos(x).

1. $$\frac{\sin 2x}{1-\cos 2x}=0$$
   
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$\sin 2x=0,\qquad 1-\cos 2x\ne 0.$$
   Тогда
   $$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2}.$$
   Условие $$1-\cos 2x\ne 0$$ исключает значения $$2x=2\pi n$$, то есть $$x=\pi n$$.
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\frac{\sin^2 x+\sin x}{1+\cos x}=0$$
   
   Числитель раскладываем на множители:
   $$\sin^2 x+\sin x=\sin x(\sin x+1).$$
   Получаем
   $$\sin x(\sin x+1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-1.$$
   Проверим знаменатель:
   $$1+\cos x\ne 0 \;\Rightarrow\; \cos x\ne -1.$$
   Поэтому значения $$x=\pi+2\pi n$$ не подходят.
   Остаются:
   $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Их можно записать как
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$\frac{8\sin x\cos x\sin 2x-1}{\sqrt3+2\sin 4x}=0$$
   
   Для нуля дроби нужен нулевой числитель:
   $$8\sin x\cos x\sin 2x-1=0.$$
   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
   $$16\sin^2 x\cos^2 x=1.$$
   Используем формулу
   $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$
   тогда
   $$4\sin^2 2x=1,$$
   $$\sin^2 2x=\frac14.$$
   Значит,
   $$\sin 2x=\pm \frac12.$$
   Отсюда
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   то есть
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
   Проверка знаменателя показывает, что эти значения допустимы.
4. $$\frac{\sin 2x}{1+\sin x}=-2\cos x$$
   
   Перенесём всё в одну дробь:
   $$\frac{\sin 2x+2\cos x(1+\sin x)}{1+\sin x}=0.$$
   Тогда числитель должен быть равен нулю:
   $$\sin 2x+2\cos x+2\sin x\cos x=0.$$
   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем
   $$4\sin x\cos x+2\cos x=0,$$
   $$2\cos x(2\sin x+1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
   При $$\cos x=0$$:
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
   При $$\sin x=-\frac12$$:
   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$
   Условие $$1+\sin x\ne 0$$ выполнено для всех найденных значений.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.