Упр.33.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(3x)+sin(x)sin(2x)=0; 3) 2cos(x+20°)cos(x)=cos(40°);
2) sin(3x)cos(2x)=sin(5x); 4) cos(3x)cos(6x)=cos(4x)cos(7x).

1. $$\cos 3x+\sin x\sin 2x=0$$

   Используем формулу
   $$\sin x\sin 2x=\frac12(\cos x-\cos 3x).$$

   Тогда
   $$ \cos 3x+\frac12(\cos x-\cos 3x)=0 $$
   $$ \cos 3x+\cos x=0 $$
   $$ 2\cos 2x\cos x=0. $$

   Отсюда:
   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0. $$

   1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$\sin 3x\cos 2x=\sin 5x$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ \sin 3x\cos 2x=\frac12(\sin 5x+\sin x). $$

   Тогда
   $$ \frac12(\sin 5x+\sin x)=\sin 5x $$
   $$ \sin 5x+\sin x=2\sin 5x $$
   $$ \sin 5x-\sin x=0. $$

   По формуле разности синусов:
   $$ 2\cos 3x\sin 2x=0. $$

   Отсюда:
   $$ \cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0. $$

   1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$
   2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$

3. $$2\cos(x+20^\circ)\cos x=\cos 40^\circ$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$ 2\cos(x+20^\circ)\cos x=\cos(2x+20^\circ)+\cos 20^\circ. $$

   Тогда
   $$ \cos(2x+20^\circ)+\cos 20^\circ=\cos 40^\circ $$
   $$ \cos(2x+20^\circ)=\cos 40^\circ-\cos 20^\circ. $$

   По формуле разности косинусов:
   $$ \cos 40^\circ-\cos 20^\circ=-2\sin 30^\circ\sin 10^\circ=-\sin 10^\circ. $$

   Значит,
   $$ \cos(2x+20^\circ)=-\sin 10^\circ=\cos 100^\circ. $$

   Тогда
   $$ 2x+20^\circ=100^\circ+360^\circ n $$
   или
   $$ 2x+20^\circ=-100^\circ+360^\circ n. $$

   Отсюда
   $$ x=40^\circ+180^\circ n $$
   или
   $$ x=-60^\circ+180^\circ n. $$

4. $$\cos 3x\cos 6x=\cos 4x\cos 7x$$

   Преобразуем произведения в суммы:
   $$ \frac{\cos 9x+\cos 3x}{2}=\frac{\cos 11x+\cos 3x}{2}. $$

   Тогда
   $$ \cos 9x=\cos 11x $$
   $$ \cos 11x-\cos 9x=0 $$
   $$ -2\sin x\sin 10x=0. $$

   Отсюда:
   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 10x=0. $$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
   2) $$\sin 10x=0 \Rightarrow 10x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{10}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

3) $$x=40^\circ+180^\circ n,\ -60^\circ+180^\circ n$$

4) $$x=\pi n,\ \frac{\pi n}{10}$$

$$n\in\mathbb{Z}$$