Упр.33.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
а) $$\cos^2(x)-\sin^2(2x)+\cos^2(3x)=\frac{1}{2}$$;
б) $$\sin(2x)+\cos(2x)=\sqrt{2}\sin(x)$$;
в) $$\cos^2(x)+\cos^2(2x)=\cos^2(3x)+\cos^2(4x)$$;
г) $$\sin(6x)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)$$.

Подробный ответ

1) $$\cos^2 x-\sin^2 2x+\cos^2 3x=\frac12$$

$$\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac12$$

$$1+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=1$$

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0$$

$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0$$

$$\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \Rightarrow \quad 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4};$$

$$2\cos 2x+1=0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x=-\frac12,\quad 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 2x+\cos 2x=\sqrt2\,\sin x$$

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x\right)=\sqrt2\,\sin x$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin x=0$$

$$2\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n;$$

$$\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x$$

$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}$$

$$\cos 2x+\cos 4x=\cos 6x+\cos 8x$$

$$\cos 2x-\cos 6x+\cos 4x-\cos 8x=0$$

$$-2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0$$

$$-2\sin 2x\,(\sin 4x+\sin 6x)=0$$

$$-2\sin 2x\cdot 2\sin 5x\cos x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2};$$

$$\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$

$$\sin 5x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{5}.$$