Упр.33.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^2(x)-sin^2(2x)+cos^2(3x)=1/2;
2) sin(2x)+cos(2x)=v2sin(x);
3) cos^2(x)+cos^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x);
4) sin(6x)=2cos(3?/2+2x).

1. $$\cos^2 x-\sin^2 2x+\cos^2 3x=\frac12$$

   Используем формулы:
   $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}, \qquad \sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}.$$

   Тогда
   $$ \frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac12, $$
   $$ 1+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=1. $$
   Значит,
   $$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0. $$

   Преобразуем:
   $$ \cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x, $$
   поэтому
   $$ 2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0, $$
   $$ \cos 4x(2\cos 2x+1)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12. $$
   Тогда
   $$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, $$
   или
   $$ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n. $$

2. $$\sin 2x+\cos 2x=\sqrt2\sin x$$

   Представим левую часть через сумму:
   $$ \sin 2x+\cos 2x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x\right) =\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right). $$
   Тогда
   $$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x. $$

   Используем формулу:
   $$ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}. $$
   Получаем
   $$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin x=0, $$
   $$ 2\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0. $$
   Значит,
   $$ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, $$
   или
   $$ \frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}. $$

3. $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x$$

   Преобразуем квадраты косинусов:
   $$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}. $$
   После сокращения:
   $$ \cos 2x+\cos 4x-\cos 6x-\cos 8x=0. $$

   Группируем:
   $$ (\cos 2x-\cos 6x)+(\cos 4x-\cos 8x)=0. $$
   По формуле разности косинусов:
   $$ -2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0, $$
   $$ -2\sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0. $$

   Используем формулу суммы синусов:
   $$ \sin 4x+\sin 6x=2\sin 5x\cos x. $$
   Тогда
   $$ -4\sin 2x\sin 5x\cos x=0. $$
   Следовательно,
   $$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0. $$
   Отсюда
   $$ x=\frac{\pi n}{2}, \qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \qquad x=\frac{\pi n}{5}. $$

4. $$\sin 6x=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)$$

   Так как
   $$ \cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=-\sin 2x, $$
   то уравнение принимает вид
   $$ \sin 6x=-2\sin 2x. $$
   Используем формулу
   $$ \sin 6x=3\sin 2x-4\sin^3 2x. $$
   Тогда
   $$ 3\sin 2x-4\sin^3 2x=-2\sin 2x, $$
   $$ \sin 2x\,(5-4\sin^2 2x)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 2x=\frac54. $$
   Второе невозможно, так как $$\sin^2 2x\le 1.$$ Значит,
   $$ \sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2}. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n;$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3};$$
3) $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=\frac{\pi n}{5};$$
4) $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$