Упр.33.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)+2sin(x)=0;
2) sin(2x)-cos(x)=2sin(x)-1;
3) 1-cos(8x)=sin(4x);
4) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0;
5) cos(9x)-cos(7x)+cos(3x)-cos(x)=0;
6) v2cos(5x)+sin(3x)-sin(7x)=0.

1. $$\sin 2x+2\sin x=0$$
   $$2\sin x\cos x+2\sin x=0$$
   $$2\sin x(\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

   $$\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$

   Но значения $$x=\pi+2\pi n$$ входят в общий вид $$x=\pi n$$.

2. $$\sin 2x-\cos x=2\sin x-1$$
   $$2\sin x\cos x-\cos x=2\sin x-1$$
   $$2\sin x\cos x-2\sin x-\cos x+1=0$$
   $$(2\sin x-1)(\cos x-1)=0$$

   Тогда:

   $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

   $$\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n$$

3. $$1-\cos 8x=\sin 4x$$
   $$2\sin^2 4x=\sin 4x$$
   $$\sin 4x(2\sin 4x-1)=0$$

   Следовательно:

   $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}$$

   $$2\sin 4x-1=0 \Rightarrow \sin 4x=\frac12 \Rightarrow 4x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}$$

4. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
   $$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$
   $$\sin 2x(2\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

   $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

5. $$\cos 9x-\cos 7x+\cos 3x-\cos x=0$$
   $$-2\sin x\sin 8x-2\sin x\sin 2x=0$$
   $$-2\sin x(\sin 8x+\sin 2x)=0$$
   $$-2\sin x\cdot 2\sin 5x\cos 3x=0$$

   Следовательно:

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

   $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

   $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}$$

6. $$\sqrt2\cos 5x+\sin 3x-\sin 7x=0$$
   $$\sqrt2\cos 5x-2\sin 2x\cos 5x=0$$
   $$\sqrt2\cos 5x(1-\sqrt2\sin 2x)=0$$

   Тогда:

   $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$

   $$1-\sqrt2\sin 2x=0 \Rightarrow \sin 2x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ

1) $$x=\pi n$$;
2) $$x=2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
3) $$x=\frac{\pi n}{4},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}$$;
4) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$;
5) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; x=\frac{\pi n}{5}$$;
6) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.