Упр.33.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)+2sin(x)=cos(x)+1;
2) 1+cos(8x)=cos(4x);
3) 2sin(2x)+cos(3x)-cos(x)=0;
4) sin(4x)+2cos^2(x)=1;
5) cos(x)-cos(3x)=3sin^2(x);
6) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)=0.

1. $$\sin 2x+2\sin x=\cos x+1$$

   $$2\sin x\cos x+2\sin x=\cos x+1$$

   $$2\sin x(\cos x+1)=\cos x+1$$

   $$\bigl(2\sin x-1\bigr)(\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$2\sin x-1=0 \quad \text{или} \quad \cos x+1=0.$$

   1) $$\sin x=\frac12,$$ значит

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   2) $$\cos x=-1,$$ значит

   $$x=\pi+2\pi n.$$

2. $$1+\cos 8x=\cos 4x$$

   $$1+2\cos^2 4x-1=\cos 4x$$

   $$2\cos^2 4x-\cos 4x=0$$

   $$\cos 4x\,(2\cos 4x-1)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\cos 4x=0,$$ значит

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4};$$

   2) $$2\cos 4x-1=0,$$ значит

   $$\cos 4x=\frac12,$$

   $$4x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

3. $$2\sin 2x+\cos 3x-\cos x=0$$

   $$2\sin 2x-2\sin x\sin 2x=0$$

   $$2\sin 2x\,(1-\sin x)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\sin 2x=0,$$ значит

   $$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2};$$

   2) $$\sin x=1,$$ значит

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

4. $$\sin 4x+2\cos^2 x=1$$

   $$\sin 4x+2\cos^2 x-1=0$$

   $$2\sin 2x\cos 2x+\cos 2x=0$$

   $$\cos 2x\,(2\sin 2x+1)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\cos 2x=0,$$ значит

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};$$

   2) $$2\sin 2x+1=0,$$ значит

   $$\sin 2x=-\frac12,$$

   $$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

5. $$\cos x-\cos 3x=3\sin^2 x$$

   $$2\sin x\sin 2x-3\sin^2 x=0$$

   $$4\sin^2 x\cos x-3\sin^2 x=0$$

   $$\sin^2 x\,(4\cos x-3)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\sin x=0,$$ значит

   $$x=\pi n;$$

   2) $$4\cos x-3=0,$$ значит

   $$\cos x=\frac34,$$

   $$x=\pm\arccos\frac34+2\pi n.$$

6. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$

   $$2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}+2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

   $$2\sin\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0$$

   $$2\sin\frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos\frac{x}{2}=0$$

   Отсюда:

   1) $$\sin\frac{5x}{2}=0,$$ значит

   $$\frac{5x}{2}=\pi n,\qquad x=\frac{2\pi n}{5};$$

   2) $$\cos x=0,$$ значит

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$

   3) $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ значит

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\pi+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \pi+2\pi n;$$
2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};$$
3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};$$
5) $$x=\pi n,\ \pm\arccos\frac34+2\pi n;$$
6) $$x=\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$