Упр.33.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\cos(5x)+\sin(3x)=0$$.

Преобразуем сумму в разность косинусов:

$$\cos 5x+\sin 3x=0$$

$$\cos 5x-\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$

По формуле

$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

получаем:

$$-2\sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

1) Если $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$ то

$$x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

2) Если $$\sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$ то

$$4x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb{Z}.$$