Упр.33.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.4. Решите уравнение cos(5x)+sin(3x)=0.

Преобразуем сумму в разность косинусов:

$$ \cos 5x+\sin 3x=0 $$

Так как $$\sin 3x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right),$$ получаем

$$ \cos 5x-\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0. $$

Используем формулу разности косинусов:

$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}. $$

Тогда

$$ \cos 5x-\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right) =-2\sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0. $$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

или

$$ \sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0. $$

1) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$ значит

$$ x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

откуда

$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n. $$

2) $$\sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$ значит

$$ 4x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

откуда

$$ 4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}. $$

Ответ

$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z. $$