Упр.33.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.35. Найдите множество пар чисел (a; b), для каждой из которых равенство a(cos(x)-1)+b^2=cos(ax+b^2)-1 выполняется для всех х.

Равенство должно выполняться при всех значениях $$x$$, значит, можно подставить удобные значения аргумента.

1) При $$x=0$$ получаем:

$$a(\cos 0-1)+b^2=\cos(b^2)-1.$$

Так как $$\cos 0=1$$, то

$$b^2=\cos(b^2)-1.$$

Правая часть не превосходит нуля, а левая неотрицательна. Следовательно,

$$b^2=0,\quad b=0.$$

2) При $$x=2\pi$$ и $$b=0$$ имеем:

$$a(\cos 2\pi-1)=\cos(2a\pi)-1.$$

Так как $$\cos 2\pi=1$$, то

$$0=\cos(2a\pi)-1,$$

откуда

$$\cos(2a\pi)=1.$$

Значит,

$$2a\pi=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

то есть

$$a=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3) При $$x=\pi$$ и $$b=0$$ получаем:

$$a(\cos \pi-1)=\cos(a\pi)-1.$$

Так как $$\cos \pi=-1$$, то

$$-2a=\cos(a\pi)-1,$$

или

$$\cos(a\pi)=1-2a.$$

Но $$-1\le \cos(a\pi)\le 1$$, значит

$$-1\le 1-2a\le 1.$$

Отсюда

$$0\le a\le 1.$$

С учётом того, что $$a$$ — целое число, получаем:

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=1.$$

Итак, возможны пары:

$$ (a;b)=(0;0),\ (1;0). $$

Ответ

$$(0;0),\ (1;0).$$