Упр.33.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$2x^2-a\operatorname{tg}(\cos(x))+a^2=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$2x^2-a\tg(\cos x)+a^2=0.$$

Обозначим

$$f(x)=2x^2-a\tg(\cos x)+a^2.$$

Так как $$x^2$$ и $$\tg(\cos x)$$ — чётные функции, то и $$f(x)$$ чётная:

$$f(-x)=f(x).$$

Значит, если $$x_0$$ — корень уравнения, то и $$-x_0$$ тоже корень. Поэтому единственный корень возможен только при $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$2\cdot 0^2-a\tg(\cos 0)+a^2=0,$$

$$-a\tg 1+a^2=0,$$

$$a(a-\tg 1)=0.$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\tg 1.$$

Проверим, что при этих значениях действительно получается единственный корень.

1) Если $$a=0$$, то

$$2x^2=0,$$

откуда $$x=0$$ — единственный корень.

2) Если $$a=\tg 1$$, то при $$x=0$$ уравнение обращается в верное равенство, а из чётности следует, что других корней, кроме симметричных, быть не может. Следовательно, единственный корень — $$x=0$$.

Ответ: $$a=0$$ или $$a=\tg 1$$.