Упр.33.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.34. При каких значениях параметра а уравнение 2x^2-a tg(cos(x))+a^2=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$2x^2-a\tg(\cos x)+a^2=0.$$

Преобразуем его как квадратное относительно параметра $$a$$:

$$a^2-\tg(\cos x)\,a+2x^2=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень по $$x$$, удобно проверить значения, при которых оно сводится к тождественно верному или к уравнению с единственным решением.

1) При $$a=0$$ получаем

$$2x^2=0,$$

откуда

$$x=0.$$

Это единственный корень.

2) При $$a=\tg 1$$ имеем

$$2x^2-\tg 1\cdot \tg(\cos x)+\tg^2 1=0.$$

Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, то значение $$\tg(\cos x)$$ принимает значение $$\tg 1$$ при $$x=0$$, и уравнение обращается в

$$2x^2+\tg 1\bigl(\tg(\cos x)-\tg 1\bigr)=0.$$

При этом единственным решением является $$x=0$$.

Других значений параметра, при которых уравнение имеет ровно один корень, нет.