Упр.33 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (1/(a^(1/4)-1)-(a^(1/4)+1)/va):va/(va-2a^(1/4)+1);
2) (va+27)/(a^(1/6)-b^(1/6))·((a^(1/6)-3)/(a^(1/3)-3a^(1/6)+9)-((ab)^(1/6)-9)/(va+27)).

Подробный ответ

$$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$$
Заметим, что
$$\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1=(\sqrt[4]{a}-1)^2.$$
Тогда
$$ \left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt[4]{a}-1)^2} $$
$$ =\frac{\sqrt{a}-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}\cdot \frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt{a}}. $$
Так как
$$ (\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)=\sqrt{a}-1, $$
то
$$ \frac{\sqrt{a}-(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}\cdot \frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt{a}} =\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}\cdot \frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt{a}}. $$
Получаем
$$ \frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}. $$
$$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\cdot\left(\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27}\right)$$
Обозначим $$x=\sqrt[6]{a}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{a}=x^2,\ \sqrt{a}=x^3,$$ и
$$ \sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9=x^2-3x+9. $$
Преобразуем скобки:
$$ \frac{x-3}{x^2-3x+9}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{x^3+27}. $$
Так как
$$ x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9), $$
а также
$$ \sqrt[6]{ab}=\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b}=x\sqrt[6]{b}, $$
то
$$ \frac{x-3}{x^2-3x+9}-\frac{x\sqrt[6]{b}-9}{(x+3)(x^2-3x+9)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(x-3)(x+3)-x\sqrt[6]{b}+9}{(x+3)(x^2-3x+9)} =\frac{x^2-9-x\sqrt[6]{b}+9}{(x+3)(x^2-3x+9)} =\frac{x(x-\sqrt[6]{b})}{(x+3)(x^2-3x+9)}. $$
Тогда всё выражение равно
$$ \frac{x^3+27}{x-\sqrt[6]{b}}\cdot \frac{x(x-\sqrt[6]{b})}{(x+3)(x^2-3x+9)}. $$
Сокращаем:
$$ \frac{x^3+27}{1}\cdot \frac{x}{(x+3)(x^2-3x+9)} =x. $$
Значит,
$$ \sqrt[6]{a}. $$