Упр.33.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.32. При каких значениях параметра а уравнение a^2 cos(?x)-a(1+8x^2)=6 имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$a^2\cos(\pi x)-a(1+8x^2)=6.$$

Проверим, при каких значениях параметра оно может иметь единственный корень.

Если $$x=0,$$ то

$$a^2-a=6,$$

откуда

$$a^2-a-6=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$a_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

Получаем

$$a=-2 \quad \text{или} \quad a=3.$$

Проверим эти значения.

1) При $$a=-2$$ имеем

$$4\cos(\pi x)+2(1+8x^2)=6,$$

то есть

$$4\cos(\pi x)+16x^2=4,$$

$$\cos(\pi x)+4x^2=1.$$

При $$x=\frac12$$ получаем

$$\cos\frac{\pi}{2}+4\cdot\left(\frac12\right)^2=0+1=1,$$

значит, корень есть. Но при $$x=0$$ тоже выполняется равенство, поэтому корней больше одного.

2) При $$a=3$$ имеем

$$9\cos(\pi x)-3(1+8x^2)=6,$$

$$9\cos(\pi x)-3-24x^2=6,$$

$$9\cos(\pi x)=9+24x^2,$$

$$\cos(\pi x)=1+\frac{8}{3}x^2.$$

Правая часть не меньше $$1$$ только при $$x=0,$$ а тогда

$$\cos 0=1.$$

Следовательно, при $$a=3$$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ

$$a=3.$$