Упр.33.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$a^2\cos(?x)-a(1+8x^2)=6$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$a^2\cos(\pi x)-a(1+8x^2)=6.$$

Обозначим

$$f(x)=a^2\cos(\pi x)-a(1+8x^2)-6.$$

Так как $$\cos(\pi x)$$ и $$x^2$$ — чётные функции, то $$f(x)$$ тоже чётная. Значит, если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — корень. Чтобы корень был единственным, он может быть только при $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$a^2\cos 0-a(1+8\cdot 0^2)=6,$$

$$a^2-a=6,$$

$$a^2-a-6=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$a_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

Получаем

$$a_1=-2,\qquad a_2=3.$$

Проверим эти значения.

При $$a=-2$$:

$$4\cos(\pi x)+2(1+8x^2)=6,$$

$$4\cos(\pi x)+16x^2=4,$$

$$\cos(\pi x)+4x^2=1.$$

При $$x=\frac12$$ левая часть равна

$$\cos\frac{\pi}{2}+4\cdot\left(\frac12\right)^2=0+1=1,$$

то есть есть ещё корень, кроме $$x=0$$. Значит, $$a=-2$$ не подходит.

При $$a=3$$:

$$9\cos(\pi x)-3(1+8x^2)=6,$$

$$9\cos(\pi x)-24x^2=9,$$

$$\cos(\pi x)-\frac{8}{3}x^2=1.$$

Так как $$\cos(\pi x)\le 1$$ и $$-\frac{8}{3}x^2\le 0$$, равенство возможно только при $$x=0$$. Следовательно, корень единственный.

Ответ: $$a=3$$.