Упр.33.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.31. При каких значениях параметра а уравнение 6a cos(?x/2)-a^2 (1+6|x|)+7=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$6a\cos\frac{\pi x}{2}-a^2(1+6|x|)+7=0.$$

Так как в уравнении присутствуют функции $$\cos\frac{\pi x}{2}$$ и $$|x|$$, то при $$x=0$$ получаем

$$6a-a^2+7=0,$$

или

$$a^2-6a-7=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=36+28=64,$$

$$a_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}.$$

Отсюда

$$a_1=-1,\qquad a_2=7.$$

Проверим эти значения.

1) Если $$a=-1$$, то уравнение принимает вид

$$-6\cos\frac{\pi x}{2}-(1+6|x|)+7=0,$$

то есть

$$6\cos\frac{\pi x}{2}+6|x|-6=0,$$

или

$$\cos\frac{\pi x}{2}+|x|-1=0.$$

При $$x=0$$ это равенство выполняется, а при $$x\ne 0$$ левая часть не обращается в нуль. Значит, при $$a=-1$$ уравнение имеет единственный корень.

2) Если $$a=7$$, то

$$42\cos\frac{\pi x}{2}-49(1+6|x|)+7=0,$$

$$42\cos\frac{\pi x}{2}-42-294|x|=0,$$

$$\cos\frac{\pi x}{2}=1+7|x|.$$

Правая часть не меньше $$1$$, а левая не превосходит $$1$$, поэтому равенство возможно только при $$x=0$$. Следовательно, при $$a=7$$ уравнение также имеет единственный корень.

Итак, уравнение имеет единственный корень при обоих найденных значениях параметра.