Упр.33.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(x-y)+1)(2cos(2x-y)+1)=6;
2) tg^4(x)+tg^4(y)+2ctg^2(x)ctg^2(y)=3+sin^2(x+y).

1) Рассмотрим уравнение

$$\bigl(\sin(x-y)+1\bigr)\bigl(2\cos(2x-y)+1\bigr)=6.$$

Так как $$\sin(x-y)+1\le 2,$$ а $$2\cos(2x-y)+1\le 3,$$ то произведение равно $$6$$ только в случае, когда оба множителя достигают своих наибольших значений:

$$\sin(x-y)+1=2,\qquad 2\cos(2x-y)+1=3.$$

Отсюда

$$\sin(x-y)=1 \Rightarrow x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$

$$\cos(2x-y)=1 \Rightarrow 2x-y=2\pi n,$$

где $$k,n\in\mathbb Z.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\\ 2x-y=2\pi n. \end{cases} $$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем

$$x=2\pi n-\frac{\pi}{2}-2\pi k=-\frac{\pi}{2}+2\pi(n-k).$$

Тогда

$$y=x-\frac{\pi}{2}-2\pi k=-\pi+2\pi(n-2k).$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\tg^4 x+\tg^4 y+2\ctg^2 x\,\ctg^2 y=3+\sin^2(x+y).$$

Обозначим

$$a=\tg^2 x,\qquad b=\tg^2 y.$$

Тогда

$$\ctg^2 x=\frac1a,\qquad \ctg^2 y=\frac1b,$$

и левая часть равна

$$a^2+b^2+\frac{2}{ab}.$$

По неравенству $$a^2+b^2\ge 2ab$$ имеем

$$a^2+b^2+\frac{2}{ab}\ge 2ab+\frac{2}{ab}=2\left(ab+\frac1{ab}\right)\ge 4,$$

так как $$ab>0.$$

Правая часть удовлетворяет оценке

$$3\le 3+\sin^2(x+y)\le 4.$$

Значит, равенство возможно только при

$$3+\sin^2(x+y)=4,\qquad a^2+b^2+\frac{2}{ab}=4.$$

Из первого получаем

$$\sin^2(x+y)=1 \Rightarrow x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Из второго, с учетом цепочки равенств, нужно, чтобы

$$a^2+b^2=2ab,\qquad ab=1.$$

Следовательно, $$a=b$$ и $$a=b=1.$$ Тогда

$$\tg^2 x=1,\qquad \tg^2 y=1,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2},$$

где $$k,m\in\mathbb Z.$$

Из условия $$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ получаем

$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

откуда

$$k+m=2n.$$

Можно записать решение в виде

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad y=\frac{\pi}{4}+\pi\left(n-\frac{k}{2}\right),\qquad k,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi(n-k),\qquad y=-\pi+2\pi(n-2k),\qquad k,n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad y=\frac{\pi}{4}+\pi\left(n-\frac{k}{2}\right),\qquad k,n\in\mathbb Z.$$