Упр.33.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 33.33. При каких значениях параметра а уравнение x^2-2a sin(cos(x))+2=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$x^2-2a\sin(\cos x)+2=0.$$

Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ то функция в левой части чётная. Значит, если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — тоже корень. Чтобы корень был единственным, он должен быть равен нулю.

Подставим $$x=0$$:

$$0^2-2a\sin(\cos 0)+2=0,$$

$$-2a\sin 1+2=0,$$

$$a=\frac{1}{\sin 1}.$$

Проверим, что при этом значении параметра других корней нет. Тогда уравнение принимает вид

$$x^2-\frac{2}{\sin 1}\sin(\cos x)+2=0,$$

или

$$x^2=\frac{2}{\sin 1}\sin(\cos x)-2.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$\sin(\cos x)\le \sin 1,$$ следовательно

$$\frac{2}{\sin 1}\sin(\cos x)-2\le 0.$$

Но левая часть равенства $$x^2$$ неотрицательна, значит возможно только

$$x^2=0,$$