Упр.33.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^2-2a\sin(\cos(x))+2=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-2a\sin(\cos x)+2=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, удобно проверить значение при $$x=0$$:

$$0^2-2a\sin(\cos 0)+2=0,$$

$$-2a\sin 1+2=0,$$

откуда

$$a=\frac{1}{\sin 1}.$$

Подставим это значение параметра в уравнение:

$$x^2-\frac{2}{\sin 1}\sin(\cos x)+2=0.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$\sin(\cos x)\le \sin 1.$$

Тогда

$$-\frac{2}{\sin 1}\sin(\cos x)\ge -2,$$

и значит

$$x^2-\frac{2}{\sin 1}\sin(\cos x)+2\ge x^2\ge 0.$$

Равенство возможно только при $$x=0$$. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ

$$a=\frac{1}{\sin 1}.$$